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Typst
361 lines
9.1 KiB
Typst
// Load the preamble
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#import "../conf.typ": conf
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#show: conf.with(week: "6")
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#import "@preview/pavemat:0.1.0": pavemat
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= Vektorraeume
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+ Zeigen Sie, dass die Menge
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$ V := {x+y sqrt(2) | x, y in QQ} $
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mit der Addition auf $RR$ und der durch
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$ lambda dot (x + y sqrt(2)) := lambda x + lambda y sqrt(2) $
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definierten Multiplikation mit Skalaren zu einem Vektorraum ueber $QQ$ wird und bestimmen Sie die Dimension von $V$.
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Eigenschaften wie Distributivitaet und Assoziativitaet werden von $QQ$ vererbt.
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Seien $v, w in VV$ und $lambda in QQ$.
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$ v + w &= (a + b sqrt(2)) + (c + d sqrt(2)) \
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&= a + c + b sqrt(2) + d sqrt(2) \
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&= x + (b + d) sqrt(2) \
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&= x + y sqrt(2) in V $
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da $a+c in QQ$ ud $b+d in QQ$.
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$ lambda dot v &= lambda dot (x + y sqrt(2)) \
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&= lambda x + lambda y sqrt(2) in QQ $
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da $lambda x in QQ$ und $lambda y in QQ$
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Da $1$ und $sqrt(2)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:
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$ dim(V) = 2 $
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+ Zeigen Sie, dass $V$ mit der Multiplikation auf $RR$ ein Koerper ist.
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Es gilt zu zeigen:
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*Addition*:
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- Kommutative Addition
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_Wird vererbt_
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- Assoziative Addition
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_Wird vererbt_
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- Inverses der Addition
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Sei $v = a + b sqrt(2)$.
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$ v + v' = 0 => v' &= -v \
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&= -(a + b sqrt(2)) \
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&=^(#[@dist]) underline(underline(-a - b sqrt(2))) $
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- Neutrales der Addition
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Das Neutrale ist hier $0 + 0 sqrt(2)$.
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*Multiplikation*:
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- Kommutative Multiplikation
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_Wird vererbt_
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- Assoziative Multiplikation
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_Wird vererbt_
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- Inverses der Multiplikation
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Sei $v = a + b sqrt(2)$.
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$ v v' = 1 => v' &= 1/v \
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&= 1/(a + b sqrt(2)) = (a - b sqrt(2))/((a + b sqrt(2))(a-b sqrt(2)))\
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&= (a - b sqrt(2))/(a^2 + 2 b^2) \
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&= underline(underline(underbrace(a/(a^2 + 2 b^2), c in QQ) - (b )/underbrace(a^2 + 2 b^2, d in QQ)sqrt(2))) $
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- Neutrales der Multiplikation
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Das Neutrale ist hier $1 + 0 sqrt(2)$.
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*Distributivitaet*:
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$ (x + y sqrt(2)) (z + u sqrt(2)) &= x z + 2y u + x u sqrt(2) + z y sqrt(2) \
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&= 2y u + x z + (x u + z y)sqrt(2) \
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&= a + b sqrt(2)
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$ <dist>
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Wobei $a = 2y u + x z in QQ$ und $b = x u + z y in QQ$.
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$qed$
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+ Sei $W$ der von $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ in $RR$ erzeugte $QQ$-Vektorraum. Bestimmen Sie die Dimension. Zeigen Sie, dass $W$ auch ein Vektorraum ueber dem Koerper $V$ aus Teil (b) ist. Bestimmen Sie wieder die Dimensionen.
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Unabhaengigkeit der Basen von $W$ zeigen:
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Es muss gelten (mit $a, b, c, d in QQ$ und $a b c d != 0$):
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$ a + b sqrt(2) + c sqrt(3) + d sqrt(6) = 0 \
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b sqrt(2) + c sqrt(3) = -1 dot (d sqrt(6) + a) \
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2 b^2 + 3 c^2 + 2 b c sqrt(6) = 6 d^2 + a^2 + 2 a d sqrt(6) \
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2 b c sqrt(6) - 2 a d sqrt(6) = - (2 b^2 + 3 c^2) + 6 d^2 + a^2 \
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sqrt(6) (2 b c - 2 a d ) = 6 d^2 + a^2 - (2 b^2 + 3 c^2) \
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sqrt(6) = (6 d^2 + a^2 - (2 b^2 + 3 c^2))/(2 b c - 2 a d ) =: l \
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$ <lind>
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damit die Basen voneinander linear unabhaengig sind.
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Da $QQ$ ein Koerper ist, gilt $l in QQ$. Somit muss $sqrt(6) in QQ$ damit die Gleichung eine Loesung hat.
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Angenommen $sqrt(6) = p/q$, wobei $p, q$ teilerfremde positive natuerliche Zahlen sind.
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Die Quadratwurzel von 6 kann keine natuerliche Zahl sein, da $4 < 6 < 9 => 2 < sqrt(6) < 3$.
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$ sqrt(6) = p/q \
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6 q = p^2/q $
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wobei $6 q in NN$. Es gilt $p^2/q in.not NN$, da sie teilerfremd sind $arrow.zigzag$.
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Es folgt also $sqrt(6) in.not QQ$. Also kann @lind nicht geloest werden.
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Da so $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:
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$ dim(W_QQ) = 4 $
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Wenn wir nun $V$ als unseren Koerper betrachten, dann faellt direkt auf, dass $1 "und" sqrt(2)$ nicht mehr linear unabhaengig sind, da ($a + b sqrt(2), c + d sqrt(2) in V$):
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$ a + b sqrt(2) &= (c + d sqrt(2)) sqrt(2) \
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&= 2 d + c sqrt(2) $
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Auch sind $sqrt(3), sqrt(6)$ voneinander linear abhaengig:
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$ sqrt(3)(a + b sqrt(2)) &= sqrt(6) (c + d sqrt(2)) \
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a sqrt(3) + b sqrt(6) &= 2 d sqrt(3) + c sqrt(6) $
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Das gleiche laesst sich auch beim Einsetzen der Eigenschaften von $v in V$ und unter Betrachtung des ersten Teilergebnisses erkennen ($lambda_i in V$):
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$ lambda_1 + lambda_2 sqrt(2) + lambda_3 sqrt(3) + lambda_4 sqrt(6) \
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<==> undershell((a_1 + a_2 sqrt(2)) + (2 b_1 + b_2 sqrt(2)), #[lin. abh.]) + undershell((c_1 sqrt(3) + c_2 sqrt(6)) + ( 2 d_1 sqrt(3) + d_2 sqrt(6)), #[lin. abh.]) $
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Nach dem Selben Argument wie oben sind die beiden Bloecke, durch betrachten der jeweiligen Bassen, voneinander linear unabhaengig.
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Es folgt also:
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$ dim(W_V) = 2 $
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= Gleichungssystem
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Loesen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
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$ x+y &=-1 \
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-x + y &= -1 \
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x+y -z &= 0 $
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sowohl ueber dem koerper $QQ$ als auch ueber dem Koerper $FF_3$.
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Zuerst wird als Koerper $QQ$ angenommen.
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Umformen in eine Matrix mit Loesungsspalte:
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$ mat(1, 0, 1, -1; -1, 1, 0, -1; 1, 1, -1, 0; augment: #(-1)) $
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Gaussverfahren anwenden:
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#grid(columns: 4,
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$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 1, -2, 1; augment: #(-1)) $,
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$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
|
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$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
|
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$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
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)
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Loesungsmatrix:
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$ mat(1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $
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Es folgt also:
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$ x &= 0 \
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y &= -1 \
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z &= -1 $
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Definiere den Koerper $FF_3 = {0, 1, 2}$.
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Betrachten Matrix (Welche mit dem Gaussverfahren bistimmt wurde):
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$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
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Hier duerfen wir nicht durch 3 teilen, da $3 = 0$ in $FF_3$ gilt.
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Also machen wir eine Fallunterscheidung fuer $z$:
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Auch kann $z$ jeden Wert annehmen, da
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$ -3 dot 0 = 0 \
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-3 dot 1 = 0 \
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- 3 dot 2 = 0 $
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Fall 1: ($z = 0$)
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Es muss gelten:
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$ x = -1 = 2 \
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y = -2 = 1 $
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Fall 2: ($z = 1$)
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$ x + 1 = -1 = 2 => x = 1 \
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y + 1 = -2 = 1 => y = 0 $
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Fall 3: ($z = 2$)
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$ x + 2 = -1 = 2 => x = 0 \
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y + 2 = -2 = 1 => y = 2 $
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Die Loesungsmenge ist hier also:
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$ LL = {(0, 2, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 0)} $
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= Matrix invertieren
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Ist die Matrix $A in QQ^(4 times 4)$ mit $A = mat(1, 1, 0, 1; 0, 1, 0, 3; -1, 0, 1, 2; 0, 1, 1, 4)$ invertierbar?
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Benutzen Sie nur die Hilfsmittel die einschliesslich der Vorlesung vom 29.1 zur Verfuegung stehen.
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Bijektive Umformungen mit dem Gaussverfahren:
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#grid(
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columns: 2,
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row-gutter: 10pt,
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$ mat(1, 1, 0, 1;
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0, 1, 0, 3;
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-1, 0, 1, 2;
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0, 1, 1, 4) $,
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$ mat(1, 1, 0, 1;
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0, 1, 0, 3;
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0, 1, 1, 3;
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0, 1, 1, 4) $,
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$ mat(1, 1, 0, 1;
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0, 1, 0, 3;
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0, 0, 1, 0;
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0, 0, 1, 1) $,
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$ mat(1, 1, 0, 1;
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0, 1, 0, 3;
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0, 0, 1, 0;
|
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0, 0, 0, 1) $,
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$ mat(1, 1, 0, 1;
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0, 1, 0, 0;
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0, 0, 1, 0;
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0, 0, 0, 1) $,
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$ mat(1, 0, 0, 0;
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0, 1, 0, 0;
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0, 0, 1, 0;
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0, 0, 0, 1) $,
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)
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Da der $A$ eine $4 times 4$ Matrix ist und einen Rank von $4$ hat, ist $A$ invertierbar.
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$qed$
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= Polynome II
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Sei $V_n := {f in K[X]: deg(f) <= n}$ die Menge der Polynome von Grad hoechstens $n$ ueber einem Koerper $K$.
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+ Zeigen Sie, dass $V_n$ ein Untervektorraum der Dimension $n+1$ von $K[X]$ ist.
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Pruefen der Eigenschaften fuer einen Unterraum:
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Abgeschlossenheit unter Addition:
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Seien $f, g in V_n$, also $deg(f), deg(g) <= n$.
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Nun gilt:
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$ deg(f+g) = max({deg(f), deg(g)}) <= n ==> f+g in V_n $
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Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation:
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Fuer $c in K$ und $c != 0$, gilt:
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$ deg(c f ) = deg(f) ==> c f in V_n $
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Das Nullpolynom ist in $V_n$ enthalten, da
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$ deg(0) = 0 <= n, quad forall n in NN $
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Eine Basis von $V_n$ ist gegeben durch:
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$ B_(V_n) = {X^0, X^1, X^2, ... , X^n} $
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Diese Basis hat $n+1$ Elemenente, weshalb die gilt:
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$ dim(V_n) = n+1 $
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+ Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung
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$ phi: V_n -> V_(n+2), quad f |-> (X^2 + 1)f $
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eine lineare Abbildung ist.
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Zuerst pruefen der ersten Eigenschaft:
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Seien $f, g in V_n$ und $lambda in K$.
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$ phi(f + g) &= (X^2 + 1)(f + g) \
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&= X^2 dot f + f + X^2 dot g + g \
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&= (X^2 + 1)f + (X^2 + 1)g \
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&= phi(f) + phi(g) $
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$ lambda dot phi(f) &= lambda dot (X^2 + 1) dot f \
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&= (X^2 + 1) dot lambda f \
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&= phi(lambda f) $
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$qed$
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Ein Polynom kann problemlos mit einem Skalar multipliziert werden.
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Auch ist die Multiplikation mit einem Anderen Polynom anderer Ordnung moeglich.
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+ In allen $V_n$ sei die Basis $X^0, X^1, ..., X^n$ gegeben.
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Ist $f=a_n X^n + ... + a_0 X^0$ und $(X^2 + 1)f = b_(n+2) X^(n+2) + ... + b_0 X^0$, dann ist durch $phi_n$
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auch eine Abbildung $Phi_n: K^(n+1) -> K^(n+3)$ mit
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$ (a_0, a_1, ..., a_n) |-> (b_0, b_1, ..., b_(n+2)) $
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gegeben. Zeigen Sie, dass $Phi_n$ linear ist und bestimmen Sie die zugehoerige Matrix.
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Sei $f,g in V^n$ und $lambda in K$.
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$ Phi(f+g) &= Phi(f) + Phi(g) $
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$ lambda dot Phi(f) &= Phi(lambda dot f) $
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nach dem selben Argument wie in Teil (b).
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Die zugehoerige Matrix sieht wie folgt aus:
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#{
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set text(size: 1.1em)
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pavemat(
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delim: "[",
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)[$ mat(1, 0, 0, 0, 0, ..., 0;
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0, 1, 0, 0, 0, ..., 0;
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|
1, 0, 1, 0, 0, ..., 0;
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|
0, 1, 0, 1, 0, ..., 0;
|
|
0, 0, 1, 0, 1, ..., 0;
|
|
dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.down, dots.down, 0;
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0, 0, 0, 0, 1, 0, 1;) $]
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}
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wobei sie $n+1$ Spalten und $n+3$ Reihen hat.
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