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= Arbeit, Leistung, Energie
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Arbeit ist ein Skalarprodukt von der Kraft und dem Weg.
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Leistung ist die Ableitung der Arbeit nach der Zeit.
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Energie ist eigentlich das Gleiche wie die Arbeit.
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Beispiele: Flaschenzug, Schraege Rampe
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== Wegunabhaengige Arbeit und konservative Kraftfelder
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- Falls $W_a = W_b$ fuer beliebige Wege $a, b$, ist das Weg-Integral *wegunabhaengig* und das Kraftfeld *konservativ*.
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aequivalent dazu sind folgende Aussagen:
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- $integral.cont arrow(F) d arrow(r) = 0$
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== Einschub: der Nabla-Operator $nabla$
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$ nabla = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
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partielle Ableitung
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+ *Gradient* (Anwendung auf ein Skalar)
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$ nabla f = op("grad") f = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
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Der Gradient gibt die Richtung der groessten Aenderung von $f$ an
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// Insert here a 2d graphic of Heightlines with
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// a perpendicular gradient vector on them in red
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der Gradient steht senkrecht auf den Hoehenlinien und ist tangential an der Falllinie.
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+ *Divergenz* (Skalarprodukt mit einem Vektor) $arrow(u) = {u_x, u_y, u_z}$
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$ nabla dot arrow(u) = "div" arrow(u) = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
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anschaulich: Quellen und Senken eines Vektorfeldes
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+ *Rotationen* (Vektorprodukt mit einem Vektor)
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$ nabla times arrow(u) = "rot" arrow(u) $ (siehe oben)
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anschaulich: Wirbel im Stroemungsfeld
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+ *Kombinationen* $"div grad" f = nabla (nabla f) = Delta f$ (Laplace)
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$= (delta^2 f)/(delta x^2), (delta^2 f)/(delta y^2), (delta^2 f)/(delta z^2)$
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Energie = gespeicherte Arbeit $[E] = J$
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$=$ die Faehigkeit, Arbeit zu verrichten
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Beispiel: Hubarbeit $m dot g dot h arrow$ potientielle Energie $m dot g dot h arrow "loslassen" arrow "kinetische Energie" 1/2 m v^2$
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== Der Energie-Erhaltungs-Satz (EES)
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2. Newtonsches Gesetz: $arrow(F) = m (d arrow(v))/(d t)$
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$ integral arrow(F) dot arrow(v) d t = m integral (d arrow(v))/(d t) arrow(v) d t$
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$I = integral arrow(F) dot arrow(v) d t = integral arrow(F) d arrow(r) = E_p^1 - E_p^2$ (Arbeit, potientielle Energie)
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$II = m integral arrow(v) d arrow(r) = m/2 v^2_2 = m/2 v_1^2 = E_("kin")^2 - E_("kin")^1$
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$ --> E_("kin")^1 + E_p^1 = E_("kin")^2 + E_p^2$ (EES der Mechanik)
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Beschleunigungsarbiet (2.NG) wird als Zuwachs kinetischer Energie gespeichert.
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- Energie wird nicht "erzeugt" oder "verbraucht"
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- Energieformen werden ineinander umgewandelt
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Beispiel: Pendel
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// Skizze einfuegen
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1. $v = 0 arrow E_("kin") = 0, h = h_("max") arrow E_("pot") = m g h_("max")$
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2. $v = v_("max") arrow E_("kin") = 1/2 m v_("max")^2, h = 0 arrow E_("pot") = 0$
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3. Siehe 1
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= Kraftfelder und Potential
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Wir nehmen ein konservatives Kraftfeld an und gehen von Punkt $P$ um $delta arrow(r)$ zu Punkt $P'$
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// Skizze von verschiedenen Wegen von Punkt P zu P' in 2D und der Steitung dy
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// Vektoren fuer die Kraefte sind eingezeichnet
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es aendert sich die potientielle Energie $E_p (x, y, z) = E_p (P)$ um $delta E_p = (delta E_p)/(delta x) delta x + (delta E_p)/(delta y) delta y + (delta E_p)/(delta z) delta z$
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da wir eine Strecke in einem Kraftfeld zuruecklegen, verrichten wir Arbeit $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ (gespeichert als potientielle Energie)
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--> $F_x delta x + F_y delta y + F_z delta z =^"von oben" - (delta E_p)/(delta x) delta x - (delta E_p)/(delta y) delta y - (delta E_p)/(delta z) delta z$
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daher $F_x = - (delta E_p)/(delta x) delta x F_y = - (delta E_p)/(delta y) delta y F_z = - (delta E_p)/(delta z) delta z$
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$arrow(F) = - "grad" E_p = - nabla E_p$
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Nachtrag: Es existiert ein Skalarfeld DURCHSCHNITT $(arrow(r))$ (Potential), sodass $arrow(F) = - k nabla o (arrow(r))$
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($<--> arrow(F)(arrow(r))$ ist ein konservatives Kraftfeld)
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== Drehimpuls und Drehmoment
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MP mit Impuls $arrow(p)$ auf Bahn $arrow(r) (t)$
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Definition: $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p) = m (arrow(r) times arrow(v))$ Drehimpuls
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wichtig: immer in Bezug auf den Koordinatenursprung $O$.
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wir zerlegen $arrow(v) "in" arrow(v)_r || arrow(r)$ und $arrow(v)_phi "senkrecht" r$ (Polarkoordinaten)
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$ --> arrow(L) = m [ arrow(r) times (arrow(v)_r + arrow(v)_phi)] = m arrow(r) times arrow(v)_phi$
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$abs(arrow(L)) = m r omega r sin(90 degree) = m r^2 dot(phi)$
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$dot(arrow(L)) = (d arrow(L))/(d t) = [(d arrow(r))/(d t) times arrow(p)] + [arrow(r) times (d arrow(p))/(d t)]$
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$= arrow(v) times arrow(p) + arrow(r) times dot(arrow(p)) = arrow(r) times arrow(F)$
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Definition: $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$ (Drehmoment)
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=== Analogie
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#table(
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columns: 2,
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[Translation], [Rotation],
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[Impuls $arrow(p)$], [Drehimpuls $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p)$],
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[Kraft $arrow(F) = dot(arrow(p))$], [Drehmoment $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$],
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[1. NG $arrow(p) = "const" <--> arrow(F) = 0$], [$arrow(L) "const" <--> arrow(D) = 0$],
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[Position $arrow(r)$], [Winkel $phi$],
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[Geschwindigkeit $arrow(v) = dot(arrow(r))$], [Winkelgeschwindigkeit $arrow(omega) = dot(phi) arrow(e)_z$],
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)
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Beispiel: Zentralkraftfelder $arrow(F) = f(r) arrow(e)_r$
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$ arrow(D) = f(r) arrow(r) times arrow(e)_r = 0 = dot(arrow(L))$
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$ --> arrow(L) = "const"$
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