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143 lines
3.1 KiB
Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 10,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Die Ladung ist eine Erhaltungsgroesse. Fuer den Strom durch eine geschlossene Oberflaeche gilt
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I = integral.cont arrow(j) d arrow(A) = - (dif Q) / (dif t) = - integral (dif Q) / (dif t) d arrow(r) , space Q = integral rho d arrow(r).
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$
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Mit dem Gausschensatz gilt dann
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integral.cont _(A) arrow(j) d arrow(A) = integral.cont _(V) arrow(nabla) times arrow(j) d arrow(r) \
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=> integral.cont _(V) arrow(nabla) arrow(j) d arrow(r) = - integral.cont _(V) (dif rho) / (dif t) d arrow(r).
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$
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Mit der Stromdichte $arrow(j)$ gilt
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$
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I = integral.cont _(A) arrow(j) d arrow(A)
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falls die Stromdichte raeumlich konstant ist gilt
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I = arrow(j) arrow(A).
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Weiter gilt fuer die Ladung
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Q = n * q * arrow(A) * arrow(v) * Delta t \
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I = n * q * arrow(A) * arrow(v) * (Delta t)/(Delta t) \
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=> arrow(j) = n * q * arrow(v).
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#theorem[
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Kontinuitaetsgleichung.
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Es gilt immer
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arrow(nabla) * arrow(j) = - (dif rho) / (dif t).
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]
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= Ohm'sche Gesetz
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Fuer das mikroskopische Verstaendnis im Drude Modell gilt
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arrow(F) = -q arrow(E) = m_(e) arrow(a) \
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arrow(a) = -q/m_(e) arrow(E).
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#axiom[
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Annahme von Drude.
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Elektronen im Metall gehoeren nicht zu einem bestimmten Atom
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sondern bewegen sich wie in einem Gas. Dadurch entsteht eine ungerichtete Bewegung.
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]
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Im externen elektrischen Feld werden Elektronen zwischen den Stoessen untereinander beschleunigt.
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Das laesst sich auch berechnen
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arrow(v)_(D) = arrow(a) * tau = e/m_(e) arrow(E) tau = underbrace((e tau) / (m_(e) ), mu : "Ladungstraegerbeweglichkeit") arrow(E).
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Diese Driftgeschwindigkeit fuehrt dann zu einem Stromfluss.
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Hier ist $tau$ die Mittlere Zeit zwischen den Stoessen.
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Falls Elektronen an die Atomruempfe stossen ist $arrow(v)_(D) = 0 $.
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Wir koennen so formulieren
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$
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arrow(j) &= n * e * arrow(v)_(D) \
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&= n * e (e tau) / (m_(e) ) arrow(E) \
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&= (n e ^2 tau) / (m_(e) ) arrow(E).
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$
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#definition[
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Hier ist die *spezifische Leitfaehigkeit*
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$
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sigma = (n * e ^2 tau) / (m_(e) ) = n e mu.
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Der *spezifische Widerstand* ist gegeben durch
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rho = 1/sigma.
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]
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#theorem[
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Ohm'sche Gesetz.
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Es gilt
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arrow(j) = sigma arrow(E).
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]
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Es laesst sich vereinfachen
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arrow(f) = (L) / (R A) E \
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=> R = (L E) / (j arrow(v) A) \
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=> R = U/I.
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#definition[
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Der elektrische Widerstand ist gegeben durch
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R = (1) / (sigma) (L) / (A).
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]
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= Stromleistung und Joul'sche Waerme
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Fuer die elektrische Leistung git
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P = (dif W) / (dif t) = U (dif Q) / (dif t) = U I.
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Fuer Ohm'sche Leiter
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P = I U = R I^2 = (U^2 ) / (R).
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Q: Was passiert mit dem Potential im Ohm'schen Leiter?
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Jetzt ist der Leiter keine Aequipotentialflaeche.
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Es gilt
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U (x) = Phi (x = 0) - Phi (x) = R (x) / (L) I.
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