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= Einleitung
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Dozent: marcus.muillr\@uni-goettingen.de
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== Pruefungsvorleitstung
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- 4 Testat-Aufgaben jeweils eine Woche
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- git repo $-> $ Tutor
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- Pass/Fail 1 Verbesserung pro Testat moeglich
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== Pruefung
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Projekt + Report eine Woche Zeit
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ca. 10 Seiten
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1. Periode 4-11 August
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2. Periode 6-13 Oktober
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Programmiersprache C. Die Programme muessen lauffaehig im CIP Pool sein.
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Graphische Auswertung in Python.
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== Literatur
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Numerical Recipies Cambridge University Press
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== Ziele
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$"Probleme"-> "Algorithmen"-> "Programme"-> "Auswertung"$
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= Numerische Integration
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Das Problem ist ein einfaches Integral auszurechnen
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I = integral_(a)^(b) f(x) d x.
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Dafuer kann die *Mittelpunktsregel* verwendet werden
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I = lim_(Delta x -> 0) sum_(i = 0)^(N) Delta x f(x_(i)) \
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x_0 = a, x_N = b\
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Delta x = (b-a) / (N) \
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x_i = a + i Delta x\
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"Mittelpunkt": x_(i) + (Delta x) / (2) l\
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I approx sum_(i)^(N) Delta x f(x_i + (Delta x) / (2) ) \.
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Oder die *Trapez-Regel*
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f_("app") = f(x_i) + (f(x_(i+1) - f(x_i) ) / (Delta x) (x - x_i)\
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I_1 = integral_(x_(i+1) )^(x_i) f(x) d x approx integral_(x_(i+1) )^(x_i) f_("app")(x) d x = Delta x (f(x_(i+1) )+ f(x_(i))) / (2 ) .
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== Simpson regel
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Quadratische Naeherung der Funktion auf dem intervall
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I_(i) = integral_(x_(i+1) )^(x_(i) ) d x f(x) approx integral_(x_(i+1) )^(x_i) d x f_("app") (x) = (Delta x) / (6) [f(x_(i)) + 4 f(x_(i)) + f(x_(i)) ].
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== Fehlerabschaetzung
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Berechnung der Ordnungen der Fehler und Abschaetzung des Fehlers.
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#highlight[TODO: Literatur lesen und die Kapitel ausbessern]
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= Berechnung von Nullstellen
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+ Intervallschachtelung
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Pruefen von Intervallen, welche durch die Bedingung $f(a)f(b) < 0$ eine Nullstelle enthalten muessen.
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Fuer den Algorithmus waelt man dann fuer die neue Intervallgrenze den Mittelpunkt zwischen $a$ und $b$, je nachdem ob die Bedingung fuer eine Nullstelle wieder erfuellt ist faehrt man dann mit dem einen oder dem anderen Intervall fort
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+ Approximation durch eine lineare Funktion ($hat(f) = f_("app") $)
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hat(f)(x) = f(a) + (f(b) - f(a)) / (b-a) (hat(x)-a) = 0\
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hat(x) = a- (b-a) / (f(b) - f(a)) f(a)
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Mit der Iterationsvorschrift
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x_(n+1) = x_(n-1) (f(x_(n)) - f(x_(n+1)) ) / (x_(n) -x_(n-1) ) f(x_(n-1) ),
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wobei die Abbruchbedingung $abs(f(x_(n))) < epsilon$ ist.
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+ Newton-Raphson ist ein iteratives Verfahren.
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#highlight[TODO: understand and implement this]
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= Auswahl von Algorithmen
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+ Rechenzeit/Effizienz
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+ Robustheit/Stabilitaet
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+ Genauigkeit
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== Bewertung der Algorithmen
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+ Intervallschachtelung\
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Robustheit ++\
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Effizient
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== Uebung
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$f(z) = z^3 -1 = 0, quad z in CC$ mit Newton.
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