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110 lines
3.0 KiB
Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 1,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= 1. Einfuehrung in die Ringtheorie
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#definition[
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Ist auf einer abelschen Gruppe eine weitere Verknuepfung $*: R times R -> R, (x,y) |-> x y$ und fuer alle $x,y in R$ die folgenden Bedingungen
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erfuellt sind
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$
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x (y + z) = x y + x z \
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(y + z) x = y x + z x
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$
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dann wird $(R, *, +)$ als *Ring* bezeichnet.
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Falls die Multiplikation kommutativ ist, so wird der Ring als kommutativ bezeichnet.
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Das Element $1 in R$ heisst Eins falls fuer alle $r in R$ gilt
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$
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1 * r = r * 1 = r.
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$
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]
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#lemma[
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Ist R ein Ring mit kommutativer Multiplikation, so gilt der Binomische Satz der Form
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$
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(x + y)^(n) = x^(n) + y^(n) + sum_(i=1)^(n-1) vec(n, i) x^(i) y^(n-i).
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$
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]
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#lemma[
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Ist R ein Ring, so gilt fuer alle $r, x in R$
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$
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0 r = r 0 = 0 , space (-x)y = - (x y) = x (-y) , space (-x) (-y) = x y.
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$
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]
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Die Menge aller Matrizen mit eintraegen aus R ist wieder ein Ring. Im Folgenden ist stets R ein kommuativer Ring mit Eins.
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Wir defineren den Raum
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R^(oo) := {(x_n) _(n in N_(0) ) | forall n in N_(0): x_(n) in R }
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$
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mit den Verknuepfungen zwischen $(a_(n) ), (b_(n) )in R^(oo) $ gegeben durch
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$
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(a_(n) ) + (b_(n) ) &:= (a_(n) + b_(n) ) \
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(a_(n) )(b_(n) ) &:= (sum_(j = 0)^(k) a_(k-j) b_(j) )_(n in N_(0) )
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$
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wird $R^(oo) $ zu einem kommutativen Ring mit Eins.
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#definition[
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Polynom mit Koeffizienten in R.
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Ein Element E aus dem Polynomring $R [X]$ ueber R mit der Unbestimmten X ist gegeben durch
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$
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E = sum_(j=0)^(n) r_(j) X^(j) .. "mit" n in NN, r_(j) in R space forall j.
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$
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]
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#definition[
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Seien $S, R$ Ringe und $phi: S -> R$ eine Abbildung. Dann ist $phi$ ein *Ringhomomorphismus* falls gilt
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$
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phi (s + r) = phi s + phi r \
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phi (s r) = phi s * phi r.
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$
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Jeder Ringhomomorphismus ist so auch ein Gruppenhomomorphismus zwischen $(S, +) "und" (R, +)$.
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Es folgt so dass
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$
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phi (0_(R) ) = 0_(S) "und" phi (-x) = - phi x space forall x in R.
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$
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#theorem[
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Sei $R = ZZ$ ein Ring. Sei $phi: ZZ -> ZZ$ ein Ringhomomorphismus. Dann fuer alle $x in R$ entweder $phi x = 0$ oder $phi x = 1$.
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]
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#proof[
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Es gilt, dass $phi 1 = phi (1^2) = (phi 1)^2 $ wodurch folgt, dass $phi 1$ entweder 1 oder 0 sein muss.
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Dadurch folgt mit $m 1 = 1 + ... + 1$ die Aussage.
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]
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#definition[
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Ein Unterring U von R heisst *Ideal* in R, falls fuer alle $x in U$ und $y in R$ gilt, dass $x y in U$ und $y x in U$.
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#theorem[
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Der Kern eines Rinhomomorphismus $phi: R -> S$ ist ein Ideal in R.
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#theorem([Homomorphisatz fuer Ringe])[
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Ist $phi: R -> S$ ein Ringhomomorphismus dann ist durch
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$
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Phi: R slash ker phi -> S
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$
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ein injektiver Ringhomomorphismus definiert. Es gilt auch dass $phi (R)$ isomorph zu $R slash ker phi$ ist.
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