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2.2 KiB
Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 4,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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== Potential einer Punktladung
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Es gilt
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$
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rho (arrow(x)') = Q delta ^3 (arrow(x)') \
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Q = integral rho dif V = integral rho space dif ^3 arrow(x)' \
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phi = (1) / (4 pi epsilon_0 ) Q/(abs(arrow(x) - arrow(x)')) = 1/(4 pi epsilon_0 ) Q/abs(arrow(x))
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$
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== Greensche Funktion
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Die greensche Funktion ist definiert als die Funktion $G$, welche die folgende Gleichung erfuellt
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$
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Delta _(x) G (arrow(x), arrow(x)') = delta^3 (arrow(x) - arrow(x)').
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$
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Hier ist $arrow(x)'$ nicht die Ableitung von $arrow(x)$ sondern der Ortsvektor zur derzeitigen Ladung (ueber welche summiert wird).
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Es gilt dann
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$
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G = - 1/(4 pi) 1/(abs(arrow(x) - arrow(x)')) = phi (epsilon_0 ) / (Q).
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$
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Eine Loesung fuer
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Delta phi (arrow(x)') = - (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 )
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ist gegeben durch
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$
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phi (arrow(x)) = 1/epsilon_0 integral dif^3 arrow(x)' G rho (arrow(x)').
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Dies kann einfach nachgerechnet werden mit
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Delta f = sum _(alpha) (diff ^2 ) / (diff x_(alpha) ^2 ) f.
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Es folgt
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$
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phi = 1/(4 pi epsilon_0 ) integral (rho (arrow(x)')) / (abs(arrow(x)- arrow(x)')) dif ^3 arrow(x)'.
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$
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== Das elektrische Feld einer beliebigen Ladungsverteilung
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Es ergibt sich
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$
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arrow(E) &= - arrow(nabla) phi \
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&= 1/(4 pi epsilon_0 ) integral dif^3 arrow(x)' rho (arrow(x)) (arrow(x) - arrow(x)') / (abs(arrow(x) - arrow(x)')^3 ).
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$
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Die Elektrodynamik muss relativistisch sein, da Aenderungen nicht schneller als Lichtgeschwindigkeit durch den Raum propagieren duerfen.
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= Multipolentwicklung
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Fuer die Multipolentwicklung wird ein endliches Volumen $V$ mit Groesse $L$ vorrausgesetzt. Ausserdem betrachten wir nur Orte mit $abs(arrow(x)) >> L$. Der Limes $d -> 0 , space q -> oo "und" arrow(p) = "const."$ kann eine Ladungsverteilung erzeugen, welche nur aus einem Dipolterm besteht.
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#highlight[TODO: finish entering this]
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