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Typst
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// Main VL Template
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#import "../preamble.typ": *
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#show: conf.with(
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num: 5
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= Wiederholung
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Zunaechst werden N Massepunkte mit jeweils konstanter Masse betrachtet.
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Als Aufgabe ist eine Gleichung fuer jeden Ortsvektor in Abhaengigkeit der Zeit gesucht.
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Newton II loest dieses Problem als AWP von 3N DGL 2. Ordnung mit dann 6N Integrationskonstanten.
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Kraefte.
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= Gesamtenergie
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Zunaechst hat jedes Teilchen im System eine kinetische und potentielle Energie.
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Ein Kraftfeld ist konservativ wenn es die Ableitung eines Potentials ist. Dadurch ist die Gesamtenergie erhalten.
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arrow(f)= -arrow(nabla) V (arrow(r))
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#example[
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Zentralkraftfelder.
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arrow(f)= f (r) arrow(e)_(r), space arrow(e)_(r) = (arrow(r)) / (abs(arrow(r)))
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Potential:
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V (arrow(r)) = - integral_(r)^(r_0 ) f (r')d r'
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$j
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- arrow(nabla) V (arrow(r)) = f (r) arrow(nabla) r = f (r) arrow(e)_(r)
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]
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m_i dot.double(arrow(r))_(i) = sum_(j != i)^(3 N) arrow(f)_(i j) + arrow(f)^("ext") _(i)
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#definition[
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Zweiteilchenpotentiale.
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v_(i j) = v (arrow(r)_(i), arrow(r)_(j) ) \
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arrow(f)_(j i) = - arrow(nabla) _(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) v_(j i) \
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v _(i j) = V_(W W) (abs(arrow(r)_(1) - arrow(r)_(j) )), x_(i) - x _(j) \
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arrow(nabla) phi (x,y,z) = vec(partial / (partial x) phi, partial / (partial y) phi, partial / (partial z)phi )
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Hier ist also der neue Nabla-Operator
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arrow(nabla) _(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) = vec(dif / (dif x_(i) - x_j ) , dif / (dif y_i - y_j ), dif / (dif z_i - z_j ) ).
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]
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Fuer N MP laesst sich die Energie im allgemeinen bestimmen durch
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E = sum_(i)^(N) m_i/2 (dot(arrow(r)))^2 + 1/2 sum_(i != j)^(N) v_(i j) + sum_(i)^(N) v^("ext") (arrow(r)_i ) \
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==> (dif E) / (dif t)
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Q: Warum nur die Haelfte des Zweiteilchenpotentials?
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A: Wir bekommen zwei mal von zwei Seiten das gleiche Potential.
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=== Grenzfaelle
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+ $v_(i j) = 0 ==> "N freie Teilchen" ==> "N entkoppelte DGL (jeweils 3)"$
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+ Starrerkoerper $abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j))= "const"$
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+ Annahme Gleichgewicht $arrow(r)^(0) _(1) , ...$
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Q: Wie funkioniert die Reduktion eines zwei Teilchenproblems auf ein Teilchenproblem?
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= Zweikoerperprobleme
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Wie betrachten zwei Massepunkte mit den Ortsvektoren $arrow(r)_(1) "und" arrow(r)_(2) $. Es wird angenommen, dass das System abgeschlossen ist.
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Die Reduktion auf ein 1 TL Problem erfolgt durch eine Koordinantentransformation
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M arrow(R) = m_1 arrow(r)_(1) + m_2 arrow(r)_(2) \
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arrow(r) = arrow(r)_(1) - arrow(r)_(2)
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Was fuer BWGL ergeben sich jetzt?
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m_1 dot.double(arrow(r)) = arrow(f)_(1 2) \
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m_2 dot.double(arrow(r)) = arrow(f)_(1 2) \
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M (dot.double(arrow(r))_(1) + dot.double(arrow(r))_(2) )= arrow(f)_(1 2) + arrow(f)_(2 1) = arrow(0)\
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dot.double(arrow(R)) = arrow(0) \
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dot.double(arrow(r)) = dot.double(arrow(r))_(1) - dot.double(arrow(r))_(2) \
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= (arrow(f)_(1 2) ) / (m_1 ) - (arrow(f)_(2 1) ) / (m_2 ) \
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= arrow(f)_(1 2) ((1) / (m_1 ) + (1) / (m_2 ) ) \
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= (1) / (mu)
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