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// Main VL Template
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#import "../preamble.typ": *
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 3
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)
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= Weiter ODE
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Durch Hilfsvariablen koennen DGL in eine Form von erster Ordnung gebracht werden
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dot(arrow(y)) (t)= arrow(F) (arrow(y),t).
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Diese kann dann durch das Euler-Verfahren oder durch das "Middlestep"-Verfahren geloest werden. #highlight[TODO: what is the middlestep for differential equations?]
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In der klassischen Mechanik gilt
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dot(z)= vec(dot(q),dot(p))= vec((partial HH) / (partial p),- (partial HH) / (partial q) ) = J arrow(nabla)_(z) HH "mit" J =^("symplektisch") mat(
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0, 11;
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-11, 0;
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).
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Symplektisch hat etwas mit Phasenraumerhaltung zu tun. Das bedeuete, dass die Flaeche von Gebieten im Phasenraum unter einer Propagation entlang einer Funktion erhalten bleibt.
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v = integral d z (0) = integral d z (t) abs((partial z (0)) / (partial z (t)) )
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Flaechenerhaltend bedeutet, dass $abs((partial z (t)) / (partial z (0)) )= 1$ gilt. Die Determinante ist also gleich Eins.
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Zum expliziten Ausrechenen gilt
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abs((partial z (t)) / (partial z (0)) )= abs(1 + (partial dot(z) (0)) / (partial z (0))t + O (t^2 ) ) = 1 + tr (A) t + O (t^2 ) \
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det e^(A t) = e ^(tr(A) t)
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tr (A) = tr (dot(z) (0)) / (z (0)) = sum_(i)^(N) partial / (partial z_i ) dot(z)_(i) = sum partial / (partial z_i ) sum J_(i k) (partial^2 HH) / ( partial z_i partial z_k) = 0
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dot(z)= vec(dot(q),dot(p)) = vec(+(partial HH) / (partial p),- (partial HH) / (partial q) ) = i L z \
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i L = dot(q) partial / (partial q) + dot(p)partial / (partial p) \
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= (partial HH) / (partial p) partial / (partial q) - (partial HH) / (partial q) partial / (partial p) \
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==> (dif 0) / (dif t) = i L 0 = {HH,0} \ ==> z (t) = e^(i L t) z (0) "ist die formale Loesung"
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Das Problem ist, dass die $p$ und $q$ Komponenten nicht kommutieren. Daher ist eine Diskretisierung der Zeitentwicklung notwendig.
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Der Velocity-Verlet Algorithmus ist
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e ^(i L Delta t) approx e^(i L_(p) (Delta t)/2) e^(i L_(q) (Delta t)/2) e^(i L_(p) (Delta t)/2) + O(Delta t^2 )\
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z (Delta t) = e^(i L_(p) (Delta t)/2) e^(i L_(q) (Delta t)/2) e^(i L_(p) (Delta t)/2) (0).
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Die Phasenraumerhaltung ist ein Mass fuer die Stabilitaet des Algorithmus.
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