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AGLA Zettel 4
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18.05.2025
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Max Offermann
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Jonas Hahn
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Horst Kretschmer
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= Aufgabe 1
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== Teil a
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Angenommen $QQ$ ist endlich erzeugt. Dann gilt
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$
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QQ = (q_1, ..., q_n ), q_i = (a_i ) / (b_i ).
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$
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Waehle $q_0 = (1) / (b) in QQ $ mit $b > product_(i) b_i$ und $b$ eine Primzahl. Da $b_i >= 1, space forall 1 <= i <= n$ gilt folgt
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aus der Konstruktion von $b$, dass
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$
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b != b_i, space forall 1 <= i <= n.
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$
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Erlaubte Operationen, um das Erzeugnis in diesem $ZZ$-Modul zu bilden, sind
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1. Multiplikation mit $ZZ$ $==>$ Variation von $a$
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2. Addition innerhalb des Moduls mit
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$
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(a_1 , b_1 ) + (a_2, b_2 ) = (a_1 b_2 + a_2 b_1 ) / (b_1 b_2 )
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$
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$==>$ der Nenner innerhalb des Ereugnis kann nur Vielfache der $b_i $ aus dem Erzeugendensystem annehmen
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Nun ist $b$ eine Primzahl ist und nicht in ${b_i: 1 <= i <= n }$ enthalten, also auch kein Vielfaches der $b_i $. Somit gilt $1/b in.not QQ$. Widerspruch.
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Also ist $QQ$ nicht endlich erzeugt.
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== Teil b
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Es gilt zu zeigen, dass $QQ$ torsionsfrei und nicht frei ist.
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=== $QQ$ ist nicht frei
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Angenommen $QQ$ ist frei. Dadurch ist $QQ$ durch eine Basis erzeugt, von welcher jede endliche Teilmenge linear unabhaengig ist.
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Da die Basis B von $Q$ nicht endlich sein kann, also auch mehr als ein Element enthaelt, waehle
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$
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q_1, q_2 in B , space q_1 = a/b "und" q_2 = c/d.
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$
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Betrachte $n,m in ZZ$
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$
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n a/b + m c/d = (n overbrace(a d,u) + m overbrace(c b, v)) / (d b).
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$
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Waehle $n = v "und" m = -u$, dann folgt
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$
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v u - u v = 0 \
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==> v a/b + (-u) c/d = 0 \
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==> q_1 "und" q_2 "sind linear abhaengig."
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$
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Widerspruch.
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Also ist $QQ$ nicht frei.
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=== $QQ$ ist torsionsfrei
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Sei $m in QQ \\ {0}$ beliebig, mit $m = a/b$, dann gilt $a,b in ZZ \\ {0}$. \
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Sei $z in ZZ \\ {0}$ beliebig.
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Betrachte
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a dot z = c in ZZ.
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$
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Es gilt durch $a,z != 0$, dass $c != 0$, da $ZZ$ Nullteilterfrei ist. \
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Somit folgt $m r != 0$, womit $QQ$ torsionsfrei ist.
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