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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 4,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Eigenwertproblem
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Delta v_(n) = lambda_(n) a_(n).
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Waermeleitung in einem Draht in einer Dimension
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partial _(t) u (t, x) = rho partial _(x) ^2 u (t, x) .. ("W") \
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u (t, 0) = u (t, L) = 0 .. ("R") \
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u (0, x) = f (x) \, space f (0) = f (L) = 0 .. ("A").
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$
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Loesung durch Speration der Variablen
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$
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u (t, x) = w (t) v (x) \, space v in C^2 ([0, L]) \, space w in C (RR_(+) ) \
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==> v'' (x) + lambda v (x) = 0 \, space v (0) = v (L) = 0 \
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w' (t) + lambda w (t) = 0 \
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==> lambda = ((pi k) / (L)) ^2 \, space k in NN \
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==> u_(k) (t, x) = e ^(- ((pi k)/L)^2 t) sin ((pi k x) / (L) ) .. "loest das Randwert-Problem".
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Fuer $f$ wie oben ist das Anfangs-Randwert-PRoblem wie eine Loesung
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u (t, x) = sum_(k=1)^(oo) a_(k) u_(k) (t, x) \
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a_(k) = 2/L integral_(0)^(L) f (x)sin ((pi k x) / (L) ) dif x.
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$
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#proof[
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Man zeigt gleichmaessige Konvergenz der Reiehe auf $(0, oo) times [0, L]$ und somit dass auf $[0, oo) times [0, L]$ gliedweise differenziert werden darf. Dann zeigt man, dass die resultierenden Reihen wieder konvergieren.
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#highlight[In der Saaluebung diesen Beweis machen]
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#remark[
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Auch wenn $f$ nur stueckweise $C$ ist, ist eine Loesung wie oben fuer $t >= epsilon > 0$.
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#theorem([Maximums-Prinzip])[
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Sei $Omega = (0, oo) times (0, L)$ und zu $T > 0$ sei $H_(T) = {(t, x) in RR^2 : t <= T}$. Ist $u$ eine auf $overline(Omega)$ stetige Loesung der Waermeleitungs-Gleichung, so gilt
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$
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min_(H_(T) inter partial Omega ) u <= u (t, x) <= max _(H_(T) inter partial Omega) u .. forall (t, x) in H_(T) inter Omega.
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$u$ nimmt also Maximum und Minimum auf dem Rand an.
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#proof[
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- Setze zu $epsilon > 0$, $v := u + epsilon x^2 $ $==>$ $partial _(t) v - partial _(x) ^2 v = - 2 epsilon < 0$. Hier ist $u$ eine Loesung der PDE
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- Sei $(t_0, x_0 )$ eine Maximal-Stelle von $v$ auf $overline(Omega) inter H_(T) $. Diese existiert, da $v$ stetig und auf $overline(Omega) inter H_(T) $ kompakt ist
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- Dann ist $a_0 := (t_0, x_0 ) in partial Omega inter H_(T) $. Angenommen, dann das nicht. Also $0 < t_0 <= T \, space 0 < x_0 < L$,
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dann $grad v (a_0 ) = 0$, falls $t_0 < T$ (Extremum!)
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- Es gilt $partial _(x) u (a_0 ) = 0 and partial _(t) u (a_0 ) >= 0$
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- Zudem ist $partial _(x) ^2 v (a_0 ) <= 0$, da fuer $a_0 $ Maximum gilt, dass die Hessematrix von $v$ in $a_0 $ negativ definit ist
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- Somit folgte $partial _(t) v (a_0 ) - partial _(x) ^2 v (a_0 ) >= 0$. Widerspruch
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- Also ist $a_0 in partial Omega inter H_(T) $
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Fuer $u$ folgt nun
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u (t, x) <= v (t, x) <= v (t_0, x_0 ) <= u (t_0 , x_0 ) + epsilon L^2 \
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==> sup_(H_(T) inter Omega) u <= max_(H_(T) inter partial Omega) u + epsilon L^2 .. "weil" a_0 "auf dem Rand liegt" \
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==> "obere Abschaetzung mit Hilfe von" epsilon -> 0.
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Fuer die Abschaetzung nach unten betrachte $- u$ und das selbe Argument.
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Fuer den Beweis muss nichts konkretes ueber $u$ bekannt sein.
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Daraus laesst sich die Eindeutigkeit nach vorgegebenen Bedingungen folgern.
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#proof[
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Sei $u, tilde(u)$ Loesungen der PDE. Dann ist $u - tilde(u)$ Loesung zu den Randdaten $= 0$. Es folgt also aus dem Maximums-Prinzip
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0 <= u - tilde(u) <= 0 ==> u = tilde(u) .. "unter Stetigkeit".
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#remark[
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Waermeleitung auf dem REchteck oder der Kreisscheibe $==>$ Sperationsansatzh wie bei der Wellengleichung. Hier koennen wir auch beweisen, dass jede Loesung des ARW-Problems sich als Reihe aus den gefundenen Loesungen schreiben laesst.
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#lemma[
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Betrachte $partial _(t) u - partial _(x) ^2 u \, space "auf" Omega = RR_(+) times (0, L) $. Mit
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u (t, 0) = alpha \, space u (t, L )= beta .. forall t \
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u (0, x) = f (x) \, space f (0) = alpha \, space f (L) = beta.
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Man kann dann die Loesung schreiben als
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u (t, x) = u_0 (x) + v (t, x),
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wobei $v (t,x)$ Loesung des ARWP ist mit $v (0, x) = 0$ und $u_0 (x)$ die sogenannte stationaere Waermeleitung $u_0 '' = 0$ loest und $u_0 (0) = alpha \, space u_0 (L) = beta$.
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Als Intuition beobachte, dass $v (t, x) -> 0 "fuer" t -> oo$ d.h. $u_0 (x) = lim_(t -> oo) u (t, x)$. Nach (langer) Zeit kommt das System annaehernd zur Ruhe, fuer $t -> oo$ wird es stationaer (es findet keine WAermeleitung mehr statt).
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Dieses Verhalten findet man auch in hoeheren raeumlichen Dimensionen.
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Explizit im Draht ist die stationaere Loesung leicht zu berechnen. Es ergibt sich
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u''_0 = 0 ==> u_0 (x) = c_0 + c_1 x \
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u_0 (0) = alpha ==> c_0 = alpha \, space u_0 (L) = beta ==> c_1 = (beta - alpha) / (L) .
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#definition([Dirichlet-Problem])[
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Sei $Omega subset RR^(n) $ offen und zusammenhaengend (bei uns meist sogar konvex und beschraenkt) mit glattem Rand. Sei $f in C (partial Omega)$. Gesucht ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) "mit" Delta u = 0 "in" Omega \, space u | _(partial Omega) = f$. Hier ist $Delta = sum _(i) partial _(i)^2 $ der Laplace Operator. Man sagt auch, dass $u$ "harmonisch" ist.
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Als explizites Beispiel kann man die offene Kreisscheibe $Omega subset RR^2 $ betrachten.
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Fuer $Omega subset RR^2 $ offene Kreisscheibe ist (Poisson)
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$
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u (x) = cases(
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(1 - norm(x)^2 ) / (2 pi) integral _(norm(y)= 1) (f (y)) / (norm(x - y)^2 ) dif s (y) .. norm(x) < 1 \
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f (x) .. norm(x) = 1
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)\
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$
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eine Loesung $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega)$ des Dirichlet-Problems $Delta u = 0$ auf $Omega \, space u | _(partial Omega) = f$ gegeben.
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Hier ist das INtegral das Kurven-Integral entalng des Einheitskreises (gegen den Uhrzeigersinn)
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integral _(0) ^(2 pi) (f (gamma (t))) / (norm(x - gamma (t))^2 ) norm(gamma' (t)) dif t
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und $ norm(*)$ ist die euklidische Norm.
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Q: Wie kommt man darauf?
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Man geht anders herum vor und setzt den Sperarationsansatz an. Dann transfomiert man wieder auf Polarkoordinaten und erhaelt
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U_(k) (r, theta) = (a_(k) cos k + b_(k) sin k) r ^(k) \
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U_0 (r, theta) = 1/2 a_0.
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Q: Warum duerfen wir die gleichmaessige Konvergenz der Reihe annehmen? Wie wird diese bewiesen?
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