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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Allgemeine Loesung quadratischer Lagrangefunktionen
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L = 1/2 [dot(arrow(q))^(T) tilde(T)dot(arrow(q)) - arrow(q)^(T) tilde(V)arrow(q)] = 1/2 sum _(i k) [tilde(T)_(i k) dot(q)_(i) dot(q)_(k) - tilde(V)_(i k) q_(i) q_(k) ],
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$
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wobei $k = 1, ..., f$ und die beiden Matrizen reel, quadratisch und symmetrisch sind. Dadurch sind diese diagonalisierbar.
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Formal ist die Trafo
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arrow(q) = C arrow(Q)
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gesucht, mit
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C^(T) tilde(T) C = E \
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C^(T) tilde(V)C = Omega^2,
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wobei $Omega^2 $ dann eine diagonalisierte Matrix ist mit quadratischen Eintraegen.
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Nun wird eine Hauptachsentrafo, die V und T gleichzeitig diagonalisiert.
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Wir betrachten $omega_(r) ^2 != omega_(s) ^2 $ mit
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$
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(- omega_(r) ^2 tilde(T)+ tilde(V))arrow(c)_(r) = arrow(0) \
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(- omega_(s) ^2 tilde(T)+ tilde(V))arrow(c)_(s) = arrow(0) \
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tilde(T)^(T) = tilde(T) , space tilde(V)^(T) = tilde(V) , space T >= 0 \
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=> tilde(T)_(r s) = arrow(c)_(r) ^(T) tilde(T) arrow(c)_(s) = 0 , space arrow(c)_(r) ^(T) tilde(T) arrow(c)_(r) > 0.
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$
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Nun werden die EW gefunden
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(- omega_(n) tilde(T) + tilde(V))arrow(c)_(n) = arrow(0) "ist unterbestimmtes LGS" \
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=> arrow(q) (t) = sum _(n = 1) ^(f) arrow(c)_(n) [a_(n) exp(i omega_(n) t) + b_(n) exp(- i omega_(n) t ) ] \
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arrow(q) = sum _(n) arrow(c)_(n) Q_(n) = Q_(n) => dot.double(Q) + omega_(n) ^2 Q = 0.
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Nun schreiben wir fuer die Lagrangefunktion, dass
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L (Q,dot(Q)) = L (q (Q), dot(q) (dot(Q))) &= 1/2 [dot(arrow(Q))^(T) C^(T) tilde(T) C dot(arrow(Q)) - arrow(Q)^(T) C^(T) tilde(V) C arrow(Q)] \
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&= 1/2 sum _(n) (dot(Q)^2 _(n) - omega_(n) ^2 Q_(n) ^2 ) = sum _(n) L_(n) (Q_(n) , dot(Q)_(n) ).
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Das ergibt dann die entkoppelten Lagrangefunktionen
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L_(n) (Q_(n) , dot(Q)_(n) ) = 1/2 (dot(Q)^2_(n)- omega_(n) ^2 Q_(n) ) <=> dot.double(Q)_(n) + omega_(n) ^2 Q_(n) = 0.
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Dabei gibt es mehrere Erhaltungsgroessen wie die Gesamtenergie und auch die Energie pro Mode.
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= Hamilton'sche Mechanik
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== Hamiltonfunktion und kanonische BWGL
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Bisher haben wir die Lagrangefunktion mit den generalisierten Koordinaten und den generalisierten Geschwindigkeiten betrachtet. Diese hat dann $2 f + 1$ Argumente, da sie
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im Allgemeinen auch von der Zeit abhaengen kann.
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Wir definieren die Hamiltonfunkition als $H: P -> RR$. Der Phasenraum ist dabei von den generalisieren Koordinaten und den generalisieren Impulsen aufgespannt.
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Der Zustand wird hier durch einen Punkt im Phasenraum beschrieben. Es gilt dabei wie gehabt fuer den generalisierten Impuls
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p_(k) = (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) => dot(q)_(k) = dot(q)_(k) (q, p, t).
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Diese Implikation muss vorrausgesetzt werden. Die Hamiltonfuntkion ist dabei als das negative der Legendretransformation der Lagrangefunktion definiert.
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#definition[
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Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch
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H = sum dot(q)_(k) (q, p, t) p_(k) - L (q, dot(q) (q, p, t), t).
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Dieses Objekt ist immer genau dann erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhaengt.
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]
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#example[
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Ein freies Teilchen in polarkoordinaten kann durch die Lagrangefunktion
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L = m/2 (dot(rho)^2 + rho^2 dot(phi)^2 )
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beschrieben werden. es folgt fuer den generaliserten Impuls
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p_(phi) = m rho^2 dot(phi) \
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p_(rho) = m dot(rho).
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$
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Dadurch ergibt sich fuer die Hamiltonfunktion
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$
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H &= p_(phi) dot(phi) + p_(rho) dot(rho) - L = p_(phi) ^2 1/(m rho^2 ) + p_(rho) ^2 1/m - m/2 (p_(phi) ^2 /m^2 + p_(phi) ^2 /(m^2 rho ^(4) ) rho^(2) ) \
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&= 1/(2 m) [p_(phi) ^2 /rho^2 + p_(rho) ^2 ].
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$
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]
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== Kanonische BWGL oder Hamiltonsche BWGL
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Wir haben gegeben durch die Definition
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d H = (partial H) / (partial q_(k) ) d q_(k) + (partial H) / (partial p_(k) ) d p_(k) + (partial H) / (partial t) d t.
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$
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Aus der Definition von H folgt dann
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(partial H) / (partial q_(k) ) &= sum _(l) p_(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial q_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) - sum (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial q_(k) ) = - (partial L) / (partial q_(k) ) = - dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) = - dot(p)_(k), \
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(partial H) / (partial p_(k) ) &= sum _(l) p_(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial p_(k) ) + dot(q)_(k) - sum (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial p_(k) ) = dot(q)_(k), \
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(partial H) / (partial t) &= sum _(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial t) p_(l) - sum _(l) (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial t) - (partial L) / (partial t) = - (partial L) / (partial t).
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Als kanonische BWGL werden dann die Beziehungen
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(partial H) / (partial q_(k) ) = - dot(p)_(k) , space (partial H) / (partial p_(k) ) = dot(q)_(k) , space k = 1, ..., f,
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bezeichnet.
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#example[
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Gegeben sei
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L (x_1, x_2, x_3, dot(x)_(1) , dot(x)_(2) , dot(x)_(3) ) = m/2 dot(arrow(r)) ^2 - V (arrow(r)).
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$
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Es folgt dann ohne Rechnung
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H = 1/(2 m) [p_(1) ^2 + p_(2) ^2 + p_(3) ^2 ] + V (arrow(r)) \
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dot(p)_(i) = - (partial H) / (partial x_(i) ) = - (partial V) / (partial x_(i) ) , space i = 1, 2, 3 , space dot(x)_(i) = (partial H) / (partial p_(i) ) = p_(i) /m.
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$
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Fuer die Impulse ergibt sich dann
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dot(arrow(p)) = - arrow(nabla) V \
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arrow(p) = m dot(arrow(r)).
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$
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Im Allgemeinen ist fuer kartesische Koordinaten der verallgemeinerte Impuls nicht gleich die Masse multipliziert it der verallgemeinerten Geschwindigkeit.
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]
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#example[
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Fuer den harmonischen Oszillator ergibt sich dann
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$
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L = m/2 dot(q)^2 - m/2 omega_(0) ^2 q^2 => H (q, p) = p^2 /(2 m) + 1/2 m omega_(0) ^2 q^2 .
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$
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Jetzt koennen wir die kanonischen BWGL ausrechnen
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(partial H) / (partial q) = m omega_0 ^2 q = - dot(p) \
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(partial H) / (partial p) = p/m = dot(q).
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Es folgt dann fuer das Gleichungssytem
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vec(dot(q), dot(p)) = mat(
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0, 1/m;
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- m omega_0 ^2 , 0;
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) vec(q, p).
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Ansatz ist dann
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vec(q, p) = arrow(c) e ^(lambda t) => vec(dot(q), dot(p)) = lambda arrow(c) e ^(lambda t) = A arrow(c) e ^(lambda t) \
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=> A arrow(c) = lambda arrow(c) => det mat(
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- lambda, 1/m;
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- m omega_0 ^2 , - lambda;
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) = 0 => lambda^2 + omega_0 ^2 = 0 => lambda = +- i omega_0.
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In der Uebung folgt dann, dass
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vec(q, p) = a vec(1, i m omega_0 ) e ^(i omega_0 t) + b vec(1, - i m omega_0 ) e ^(i omega_0 t) .
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Dadurch ergibt sich dann fuer $q$ und den Impuls
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q = a e ^(i omega_0 t) + b e ^(- i omega_0 t) \
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p = i m omega_0 (a e ^(i omega_0 t) - b e ^(- i omega_0 t) ).
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Das waere eine Loesung fuer die Phasenraumtrajektorien.
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