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140 lines
4.7 KiB
Typst
140 lines
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Typst
// Main VL Template
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#import "../preamble.typ": *
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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== 1.4. Das elektrostatische Potential und die Arbeit im elektrischen Feld
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==== Vorbemergungen zur Roration eines Vektorfeldes
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Fuer Vektorfelder gilt der Satz von Stokes.
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#theorem([Stoke'scher Satz])[
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Es gilt fuer jedes Vektorfeld
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integral _(A) arrow(nabla) times arrow(E) d A = integral_(C) arrow(E) d arrow(s).
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Das Integral einer Ableitung ueber ein Geiebt gleich dem Funktionswert an seinen Grenzen (der Rand der Flaeche).
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]
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integral _(A) arrow(nabla) times d arrow(A) = integral.cont arrow(E) d arrow(s).
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$
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Rotation misst die Verdrillung eines Vektorfeldes; Gebiet mit hoher Rotation ist ein Wirbel.\
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Der Fluss der Rotation durch eine Oberflaeche ist gleich
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dem Gesamtbetrag des Wirbels um die Flaeche an der Kante herum.
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Das Flaechenintegral ueber die Rotation des elektrischen Feldes
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$integral arrow(nabla) times arrow(E) d arrow(A)$
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haengt nur von der Randlinie und nicht von der Flaeche ab.
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Fuer jede geschlossene Oberflaeche gilt
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$
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integral.cont arrow(nabla) times arrow(E) d arrow(A) = 0,
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da eine Kugel so gewaehlt werden kann dass Begrenzungslinie verschwindet (beziehungsweise sie ist nicht existent) $integral.cont arrow(E) d arrow(s)$.
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Beim elektrischen Feld $arrow(E) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) (q) / (r^2 ) hat(r)$ wie wir es bisher besprochen hattan (elektrostatisches Feld) laesst sich zeigen
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integral.cont arrow(E) d arrow(s) ==> arrow(nabla) times arrow(E) = 0.
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Es kann bewiesen werden, dass
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arrow(nabla) times arrow(E) <==> arrow(E) = - arrow(nabla) phi.
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=== 1.4.1 Arbeit im elektrischen Feld
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Um eine Testladung $q_("test") $ im Feld $arrow(E) (arrow(r))$ entlang der Kurve C zu verschieben
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wird die folgende Arbeit verrichtet
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W = integral.cont arrow(F) d arrow(s) = q_("test") integral.cont arrow(E) d arrow(s),
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falls $W>0$ dann gewinnt die Ladung Energie (hier potentielle Energie), sonst verliert die Ladung Energie (bzw. bleibt konstant).
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#example([Punktladung am Ursprung])[
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Betrachte ein elektrisches Kraftfeld der Form
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arrow(E) (arrow(r)) = (q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(r)) / (r^2 ).
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Nun wird die Arbeit um von Punkt $A$ zu Punkt $B$ zu kommen auf zwei verschiedenen Wegen ermittelt.
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Dabei kommt raus, dass die Arbeit nur von Start und Endpunkt abhaengt $==>$ konservatives Kraftfeld.
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]
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=== 1.4.2 Elektrisches Potential und Spannung
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Da Linienintegral Wegunabhaengig kann die skalare Funktion $Phi$ (das elektrische Potential) definiert werden
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Phi (arrow(r)) := integral_(arrow(r))^(oo) arrow(E) (arrow(r)) d arrow(s).
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Es wird die Normierung $Phi (oo) = 0$ verwendet.
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Hier kann $arrow(E)$ als Gradient des Potentials geschrieen werden
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arrow(E) = - arrow(nabla) Phi (arrow(r)), space Phi (r) = (q_1 ) / (4 pi epsilon_0 ) (1) / (abs(r - r_1 )), r_1: "Position der Ladung"
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#remark[
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Der Gradient macht aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld.
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Falls das Linienintegral vom Weg abhaengen wuerde, dann wuerde die Definition eines allgemeinen Potentials nicht wohldefiniert sein.
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Fuer Potentiale gilt auch das Superpositionsprinzip
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Phi (arrow(r)) = sum_(i=0)^(N) (q_i ) / (4 pi epsilon_0 ) (1) / (abs(arrow(r)- arrow(r'))) .
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Eine Aequipotentialsflaeche ist eine Flaeche auf der $Phi$ konstant ist.
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Die Geometrie dieser haengt von der Form der Ladung ab.
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Dabei faellt auf, dass die Feldlinien immer $perp$ auf Aequipotentialflaechen sind.
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Ware das nicht so gaebe es Vektorkomponenten von $arrow(E)$ in der Aequipotentialflaeche dann wegen
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arrow(E) = - arrow(nabla) Phi
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auch Komponente von $arrow(nabla) Phi ==> Phi$ wuerde dann innerhalb der Aequipotentialfaleche aendern. Widerspruch.
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#definition[
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Die *elektrische Spannung* $U$ ist als die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten im Raum definiert
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U_(1 2) := Phi (arrow(r)_(2) - Phi (arrow(r)_(1)) ), space [U] = 1 ("Nm") / ("As") = 1"V".
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Arbeit im $arrow(E)$-Feld kann so auch durch die Spannung charakterisiert werden
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W_(1 2) = q integral_(r_1 )^(r_2 ) arrow(E) d arrow(s) = q U_(1 2).
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Die Energie die ein Elektron braucht um eine Potentaldifferenz von $1"V"$ zu ueberqueren betraegt ein elektron Volt $["eV"]$.
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== 1. Maxwellgleichung
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arrow(nabla) * arrow(E) = (rho) / (epsilon_0 ), space "da" arrow(E) = - arrow(nabla) Phi \
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==> arrow(nabla) * arrow(nabla) * Phi = - (rho) / (epsilon_0 ), space arrow(nabla) arrow(nabla) = Delta "Laplace Operator"
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#theorem[
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Poisson Gleichung.
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Es gilt fuer ein gegebenes elektrisches Potential
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Delta Phi = - (rho) / (epsilon_0 ).
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