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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Starrer Koerper mit N MP.
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Lage im Raum festgelegt durch 3 Koerpereigene Punkte $P_1, P_2, P_3 $, welche nicht auf einer Gerade liegen.
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Dies sind die Ortsvektoren eines raumfesten Intertialsystems mit $arrow(r)_(1), arrow(r)_(2) , arrow(r)_(3) $, sind linear unabhaengig.
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Es gibt dann also 3 Z.B. der Form $arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) = "const." , space (i ,j) = (1,2), (1, 3), (2, 3)$, wodurch es dann $f = 9 - 3 = 6$ Freiheitsgerade.
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Das Inertialsystem kann sich gleichfoermig bewegen, Translatiert sein oder sich um eine der Drei achsen gedreht haben.
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== 4.2 Starrer Koerper
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=== 4.2.1 SP Bewegung
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Es gilt fuer den Schwerpunkt
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$
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arrow(R) = 1/M sum _(i) arrow(r)_(i) m_(i),
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$
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was 3 translatorischen Freiheitsgeraden entspricht. Dabei ist $arrow(r)_(i) $ das Inertialsystem und $arrow(r)'_(i) $ das Koerpereigene System.
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=== 4.2.2 Traegheitsmoment
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Wir betrachten eine Drehung $arrow(omega) = omega arrow(e)_(z) $. Die Drehung mit dem Winkel kann dann durch die rechte Hand Regel bestimmt werden.
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Der Drehwinkel ist hier $phi$. Die Geschwindigkeit auf dem Kreisbogen ist gegeben durch
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$
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2 pi rho = v T \
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=> v = omega rho,
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wobei $rho$ der Abstand zum Ursprung ist. Die Kinetische Energie ist gegeben durch
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T = 1/2 m arrow(v)^2 = 1/2 m rho^2 omega^2 = 1/2 m rho^2 dot(phi)^2 , space omega = dot(phi) = (dif phi) / (dif t).
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$
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Wir schreiben um zu
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T = 1/2 Theta dot(phi)^2 \
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Theta = m rho ^2,
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wobei $Theta$ das Traegheitsmoment bei Rotation um die z-Achse ist. Im allgemeinen ist das Traegheitsmoment fuer meherere MP gegeben durch
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$
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Theta = sum _(i) m_(i) rho_(i) ^2 \
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Theta = integral rho ^2 d m.
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$
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=== 4.2.3 Einschub Beschleunigte Bezugssysteme
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Vom IS wird eine raeumliche verschiebung durch den Vektor $arrow(r)_(0) (t)$ in ein KS. Bei einer Koration kann die Rotation aus der Geometrie abgelesen werden.
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Falls $O_(I S) = O_(K S) => "Die Vektoren sind gleich, aber nicht die Koordinaten"$.
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Fuer die Geschwindigkeiten folgt dann (wobei $arrow(e)_(i) $ die Basen im IS sind und $arrow(e)'_(i) $ die Basen im KS)
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$
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sum _(i) dot(x)_(i) arrow(e)_(i) = sum _(i) [dot(x)_(i) arrow(e)_(i) + x'_(i) dot(arrow(e))'_(i) ] \
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=> arrow(v)_(I S) = arrow(v)_(K S) + sum _(i) x'_(i dot(arrow(e))'_(i).
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$
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Eine Drehung $D$ ist gegeben durch eine Drehmatrix mit $D D^(T) = D^(T) D = E$
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$
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arrow(e)'_(i) = D_(i j) arrow(e)_(j) => arrow(e)_(j) = D_(i j) arrow(e)'_(i) \
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dot(arrow(e))'_(i) = D_(i j) dot(arrow(e))_(j) + dot(D)_(i j) arrow(e)_(j) = dot(D)_(i j) arrow(e)_(j).
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Wir muessen spaeter alles in das gestrichene System zurueckfuehren. Es folgt
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$
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dot(arrow(e))'_(i) = dot(D)_(i j) underbrace(D_(k j) arrow(e)'_(k), arrow(e)_(j) ) , space A = dot(D) D^(T).
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Wir behaupten, dass $A + A^(T) = 0 => A "ist antisymetrisch"$.
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Rechne
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dot(D) D^(T) + (dot(D) D^(T) )^(T) = dot(D) D^(T) + D dot(D)^(T) = dif / (dif t) (D D^(T) ) = dif / (dif t) E = 0.
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Die Matrix $A$, gegeben durch
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$
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mat(
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0, A_(1 2), A_(1 3) ;
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- A_(1 2) , 0, A_(2 3) ;
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- A _(1 3) , - A_(2 3) , 0;
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),
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hat also 3 unabhaengige Zahlen.
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Dann kann ein beliebiger Vektor $q$ an die Matrix $A$ multipliziert werden.
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Das ergibt ein Ergebnis aehnlich zum Kreuzprodukt.
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Waehle dann
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A_(1 2) = - omega_(3) , A_(1 3) = omega_(2) , A_(2 3) = - omega_(1) \
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=> A arrow(q) = arrow(omega)times arrow(q).
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Damit folgt dann fuer die Geschwindigkeit im IS
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dot(arrow(r))_(I S) = dot(arrow(r))' _(K S) + arrow(omega) times arrow(r)'_(K S) + dot(arrow(r))_(0) , space arrow(omega): "instantantane Drehachse" \
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arrow(omega) = arrow(omega)'.
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=== 4.2.4 Kinetische Energie
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Starrer Koerper: $dot(arrow(r))'_(mu) = arrow(0)$ in KS.
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Wir setzen also in den Ausdruck fuer die Kinetische Energie ein
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T = sum_(i = 1)^(N) m_(i) /2 dot(arrow(r))_(i) ^2 = sum _(i) m_(i) /2 [dot(arrow(r))_(0) + (omega times arrow(r)'_(i) )]_(i) ^2 dot(arrow(r))_(0) = arrow(v)_(0) \
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= sum _(i) m_(i) /2 arrow(v)_(0) ^2 + sum _(i) m_(i) arrow(v)_(0) * (arrow(omega) times arrow(r)'_(i) )+ sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega) times arrow(r)'_(i) )^2 .
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Wir schreiben
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$
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T = M/2 arrow(v)_(0) ^2 + T_("mix") + T_("rot") \
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T_("mix") = arrow(v)_(0) * (arrow(omega) times sum _(i) m_(i) arrow(r)'_(i) ) \
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= sum _(i) m_(i) arrow(r)'_(i) * (arrow(v)_(0) times arrow(omega)) \
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Nun kann dieser Term durch die Wahl von $0_(K S) $ vereinfacht werden.
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Falls der Schwerpunkt vom starren Koerper im Ursprung von KS liegt, dann faellt $T_("mix") $ weg. Falls wir einen Punkt des starren Koerpers fixieren, dann ist $v_0 = 0$ wodurch
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T = T_("rot")
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gilt.
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=== 4.2.5 Traegheitstensor
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Jetzt wollen wir die Rotationsenergie umschreiben zu
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T_("rot") = sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega)times arrow(r)'_(i) )^2 = sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega)^2 arrow(r)'^2_(i) - (arrow(omega) * arrow(r)'_(i) )^2 ) \
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=> sum _(j) m_(j) /2 sum _(i k) (omega_(i) omega_(i) r'_(j k) r'_(j k) - omega_(i) r'_(j i) omega_(k) r'_(j k) ) \
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= sum _(j) m_(j) /2 sum _(i k) omega_(i) omega_(k) (delta_(i k) r'_(j k) r'_(j i) - r'_(j k) ) = 1/2 sum _(i k) omega_(i) omega_(k) Theta_(i k) \
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Theta_(i k) = sum _(j) m_(j) (delta_(i k) (arrow(r)'_(j))^2 - r'_(j i) r'_(j k) ) \
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=> T_("rot") = 1/2 arrow(omega) ^(T) Theta arrow(omega) .
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Ein Kreuzprodukt kann quadriert werden
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(arrow(a)times arrow(b))^2 = arrow(a)^2 arrow(b)^2 - (arrow(a) * arrow(b))^2.
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Mit Nebenrechnung
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$
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(arrow(a)times arrow(b))_(k) = epsilon_(k l m) a_(l) b_(m) \
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=> (arrow(a)times arrow(b)) * (arrow(a)times arrow(b)) = omega_(k l m) epsilon_(k r s) a_(l) b_(m) a_(r) b_(s) \
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= (delta_(l r) delta_(m s) - delta_(l s) delta _(m r) ) a_(l) b_(m) a_(r) b_(s) \
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= a_(l) a_(l) b_(m) b_(m) - (a_(l) b_(l)) ^2 .
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Der Traegheitstensor ist symetrisch und reel, diese ist also diagnonalisierbar. Mit
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Theta_(D) = Lambda ^(T) Theta Lambda \
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Theta_(D) = mat(
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Theta_(1) , 0, 0;
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0, Theta_(2) , 0;
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0, 0, Theta_(3) ;
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).
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$
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Hier sind dann die $Theta_(i) $ die Haupttraegheitsmomente.
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