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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Ultraschall in festen und fluessigen Median oder in Gewebe fuer die medizinische Diagnostik.
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Fuer die medizinische Diagnostik sind vor allem Frequenzen im Bereich von einigen MHz interessant unterhalb 2 MHz ist die Aufloesung zu gering oberhalb ist die Absorption zu stark.
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Die BWGL fuer Schall muss linearisiert werden, da sich die Dichte veraendert.
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== Schallwellen in Festkoerpern
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Im Festkoerper haben wir noch weniger Dichteaenderung.
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Auslenkung $xi (z, t)$ im Volumenelement $dif V = A dif z$ mit der Spannung $sigma = E (diff xi) / (diff z) $ und der Spannungsdifferenz $sigma (z + dif z, t) - sigma (z, t)$ und eine Kraftdifferenz $dif F$ bedingt eine Beschleunigung des Volumenelements
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$
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dif F = A dif sigma = A (diff sigma) / (diff z ) dif z \
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rho (diff ^2 xi) / (diff t^2 ) dif V = A E (diff ^2 xi) / (diff z^2 ) dif z ==> (diff ^2 xi) / (diff t^2 ) = sqrt(E/rho) ^2 (diff ^2 xi) / (diff x^2 ) \
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c = sqrt(E/rho) \, space sqrt(T/s).
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Es gibt noch mehr Freiheitsgerade also die Polarisation. Fluessigkeiten koennen nicht geschert werden.
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Klassifizierende Variablen fuer einen Festkoerper.
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Alle moeglichen Geometrien koennen beim Schwingen eines Festkoerpers eine Rolle spielen. Zustaende sind im Verzerrungsfeld dargestellt und die Elastizitaet in einem Tensor hoher Stufe.
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Die stationaere Wellengleichung haengt nicht von der Zeit ab
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arrow(nabla) ^2 u (arrow(r)) + k^2 u (arrow(r)) = 0 \
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u : RR^3 -> RR \
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phi = (arrow(r), t).
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Hier ist $u$ die Amplitude. Diese folgt aus dem Sperarationsansatz.
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= Fourier Zerlegung
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Es gilt fuer eine periodische Funktion
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psi (t) = C cos (omega t + phi) = Re (C e ^(i omega t + phi) ) = A cos (omega t ) + B sin (omega t) = Re [Z e ^(i omega t ) ] \
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A = C cos phi \, space B = - C sin phi \, space C ^2 = A ^2 + B ^2 \, space Z = A - i B \
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f = 440"Hz" \, space phi = 110 degree \, space C = 2.
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Als Ueberlagerung
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psi (t) = Re [Z_(1) e ^(i omega_1 t) + Z_(2) e^(i omega_2 t) ] \, space f_1 = 440"Hz" \, space f_2 = 610"Hz".
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$Z$ sind die Fourierkoeffizienten und lassen sich aus $psi (t)$ bestimmen durch eine Fourierzerlegung.
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psi (t) = Re [sum_(n=1)^(N) Z_(n) e ^(i omega_(n) t) ]
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Falls wir eine beliebige Kombination haben. Das Signal $f (t)$sei periodisch mit Periode $T$, dann gilt mit $omega_1 = (2 p)/T$ und $omega_(n) = n omega_(1) $
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f (t) = sum_(n = - oo)^(oo) c_(n) e ^(i omega_(n) t) \
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"reele" f ==> f (t) = a_0 + sum_(n=1)^(oo) {a_(n) cos (omega_(n) t) + b_(n) sin (omega_(n) t) } \
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c_(n) = 1/T integral _(t_0 ) ^(t_0 + T) f (t) e ^(i n omega_(n) t) dif t.
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Addieren von Zeigern
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psi (t) = C cos (omega t + phi) = 1/2 {Z e ^(i omega t) + Z^(star ) e^(- i omega t ) }.
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Der Phasor erlaubt auch eine Darstellung durch negative Frequenzen.
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= Physik der Musikinstrumente
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Falls Toene in einem ganzzahligen Verhaeltnis stehen, dann hoert sich der Ton harmonisch an.
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Typen von Instrumenten
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- Idiophone
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- Resonante
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- Aerophone
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Man kann sich die Eigenmoden des Resonanzkoerpers einer Geige anschauen.
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Wir definieren die Tor-Funktion durch
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Pi (x) = cases(
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0 .. abs(x) > 1/2, 1 .. abs(x) <= 1/2.
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)\
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tilde(Pi) (nu) = integral_(- oo)^(oo) dif x Pi (x) e ^( - i 2 pi nu x) \
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integral_(- 1/22)^(1/2) dif x e ^(- i 2 pi nu x) = [(1) / (- i 2 pi nu) e ^( - i 2 pi nu x) ]^(1/2) _(- 1/2) = 1/(pi nu) sin (pi nu) = sinc (pi nu) "Sinus Cardinalis".
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= Dispersionsgeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit
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Die Phasengeschwindigkeit $c$ beschreibt die Bewegung der Orte gleicher Phase bei einer monochromen Welle
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e ^(i (k x - omega t)) = e ^(i k (x - c t)) \, space omega_i = c k_i.
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Betrachte jetzt eine Ueberlagerung
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psi prop e ^(i (k_1 x - omega_1 t)) + e ^(i (k_2 x - omega_2 t)) \
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overline(k):= (k_1 + k_2 ) / (2) \, space Delta k = (k_1 - k_2 ) / (2) \, space overline(omega) := (omega_1 + omega_2 ) / (2) \, space Delta omega := (omega_1 - omega_2 ) / (2) \
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psi = e ^(i( (overline(k) + Delta k)x - ( overline(omega)+ Delta omega))t) + e ^(i( (overline(k) - Delta k)x - ( overline(omega)- Delta omega))t) \
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= underbrace(e ^(i (overline(k)x - overline(w) t)), "Traeger-Welle") * underbrace(2 cos (Delta k x - Delta omega t), "Einhuellende-Welle") \, space "fuer" Delta k << overline(k) \, space Delta omega << overline(omega) "aehnlich wie bei Schwebung".
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Phasen von TW bewegen sich mit $c_("phase") = overline(omega)/overline(k) approx (omega_1 ) / (k_1 ) approx omega_2 /k_2 $.
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Phasen von EW bewegen sich mit $c_("group") = (Delta omega) / (Delta k) approx (diff omega) / (diff k) $. Bei linearer Dispersionsrelation
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omega = omega (k) \, space omega = c k ==> (diff omega) / (diff k) = c.
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Nur bei dieser ist $c_("phase") = c_("group") $.
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Die Phasengeschwindigkeit kann groesser als die Lichtgeschwindigkeit sein?
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