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Typst
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Typst
// Load the preamble
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#import "../conf.typ": conf
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#show: conf.with(week: "5")
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= $CC$-Vektorraum
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Betrachte den $CC$-Vektorraum $V = CC^4$ und
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$ w_1 = (1, i, 0, −i), w_2 = (i, 1, 0, i), w_3 = (0, −2i, 0, i + 1) in CC^4 . $
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Sei $W = ⟨{w_1, w_2, w_3}⟩$. Bestimmen Sie einen zu $W$ komplementären Unterraum vom $V$ und geben Sie jeweils eine Basis von $U$ und $W$ an.
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*Abgabe in Papierform*.
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//$ W_B = angle.l {w_1, w_2} angle.r $
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//$ U_B = angle.l {(0, 0, 1 ,0), (i - 1, 1 - i, 0, 2)} angle.r $
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//Es gilt:
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//$ V = W plus.circle U $
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//was aus der linearen Unabhaengigkeit von den Basisvektoren von $W$ und $U$ folgt und da
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//$ dim(V) = dim(W) + dim(U) = 4 . $
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= Komplementaere Unterraeume
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Sei $K$ ein Körper und $V$ ein K-Vektorraum mit $m$ Unterräumen $W_1, . . . , W_m ⊂V$.
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+ Zeigen Sie, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
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#enum(numbering: "(i)",
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enum.item(1)[Es gilt $V = W_1 ⊕. . . ⊕W_m$.],
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enum.item(2)[Für jedes $v ∈V$ gibt es eindeutige $w_1 ∈W_1, . . . , w_m ∈W_m "mit" v = w_1 + . . . + w_m$. ])
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Angenommen (i). Dann folgt:
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Also ist hier die Null auf genau eine Weise darstellbar:
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$ 0 = w_1 + w_2 + ... <==> 0 = 0 + 0 ... $ <null>
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Sei $v in V$.
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$ v = w_1 + w_2 + ... = w'_1 + w'_2 + ... \
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<==> 0 = (w_1 - w'_1) + (w_2 - w'_2) + ... $
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Nach @null muss also $w_i = w'_i$, wodurch die Darstellung von $v$ eindeutig ist.
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Angenommen (ii). Dann gilt:
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$ v = w_1 + . . . + w_m <==> V = W_1 plus ... plus W_m . $ <comp>
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Sei $A(n) :<==> U = W_1 + ... + W_(n), O = W_(n+1) + ... + W_m: U plus.circle O$
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Induktionsanfang (IA): Sei $V$ wie hier mit $n=1$ folgt:
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$ underbrace(W_1, U) plus underbrace(W_2 plus ... plus W_(m), O) = V $
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Sei nun $v in U sect O$, dann folgt:
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$ v = u_1 = o_m $
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Da $v$ jedoch eindeutig dargestellt werden muss, folgt $u_1 = o_m = 0$.
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Also ist:
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$ U_1 sect W_m = 0 ==>^("mit" #[@comp]) U_1 plus.circle W_m $
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Induktionshypothese (IH): Angenommen A(n), fuer $n in N$.
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Induktionsschritt (IS): Nun gilt es zu zeigen, dass A(n+1) auch gilt.
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...
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*Der Rest ist in Papierform*
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+ Ist die folgende Aussage ebenfalls äquivalent zu den ersten beiden? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
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(iii) Es gilt $V = W_1 + . . . + W_m$ und $W_i ∩ W_j = {0}$ für alle $1 ≤i < j ≤m$.
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Gegenbeispiel:
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$ V = RR^2, quad W_1 = angle.l (0, 1) angle.r , angle.l (1, 0) angle.r, angle.l (1, 1) angle.r $
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Dann gilt:
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$ V = W_1 + W_2 \
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sect.big W_i = 0 $
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da $W_1$ und $W_2$ linear unabhaengig sind und sich die drei Geraden im Ursprung schneiden.
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Sei $v = (1, 1)$, dann folgt:
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$ v = w_1 + w_2 = w_3 = vec(1, 0) + vec(0, 1) = vec(1, 1) $
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Also ist die Darstellung von $v in V$ nicht eindeutig.
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= Projektionen
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Sei $K$ ein Körper und $V$ ein K-Vektorraum.
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Angenommen $ϕ: V →V$ ist eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft $ϕ ◦ϕ = ϕ$ <2b1> .
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Zeigen Sie, dass es zwei Untervektorräume $W_1, W_2 ⊂V$ mit $V = W_1 ⊕W_2$ gibt, sodass die Gleichungen $ϕ(w_1) = w_1$ für alle $w_1 ∈W_1$ und $ϕ(w_2) = 0$ für alle $w_2 ∈W_2$ gelten.
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Setze folgenden UVR von $V$:
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$ W_1 = im(phi.alt), quad W_2 = ker(phi.alt) $
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Nun gilt fuer $v in V$:
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$ phi.alt(phi.alt(v)) &=^(#[@2b1]) phi.alt(v) \
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<==> phi.alt(phi.alt(v)) - phi.alt(v) &= 0 \
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<==>^("lin.") phi.alt(phi.alt(v) - v) &= 0 $
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Also folgt:
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$ k &= phi.alt(v) - v, quad k in ker(phi.alt) \
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<==> v &= phi.alt(v) - k, quad k in W_2, quad phi.alt(v) in W_1 $
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Da $v$ beliebig war, gilt: $V = W_1 + W_2$.
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Sei $x in W_1 sect W_2$.
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Dann gilt:
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$ x in W_1 &==> phi.alt(x) = x \
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x in W_2 &==> phi.alt(x) = 0 \
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therefore x &= 0 $
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Da $x$ beliebig war, folgt: $W_1 sect W_2 = 0$.
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Also ist $V = W_1 plus.circle W_2$. Die Eigenschaften von $phi.alt$ gelten nach Konstruktion.
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$qed$
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= Fibonacci
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Sei $V := {(a_i)_(i∈N) : a_i ∈R}$ der R-Vektorraum aller reellen Folgen.
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Wir definieren die lineare Abbildung $ϕ$ durch
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$ ϕ: V →V, (a_1, a_2, a_3, . . .) |-> (a_2, a_3, . . .) . $
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Definiere nun
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$ psi = ϕ ◦ϕ −ϕ − id(V) . $ <fib>
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+ Bestimmen Sie die Dimension von $ker(ψ)$.
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Zuerst bestimme ich den Kern von $psi$:
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$ ker(psi) = {v in V: psi(v) = 0 <==> phi(phi(v)) - phi(v) - v = 0} $
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Die Funktion $phi$ verschiebt alle Elemente von $v in V$ um einen Index nach links.
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Aus der Definition von $phi$ folgt, dass folgendes gelten muss:
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$ forall k in ker(psi): k_n = k_(n-1) + k_(n-2), quad n > 2 $ <ker>
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Also gilt: Damit ein $v in V$ im Kern von $psi$ liegt muessen alle Elemente durch die ersten Beiden eindeutig bestimmt sein.
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Eine moegliche Basis fuer den Kern ist:
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$ bold(b'_1) = (1, 0, a_3, a_4, ...) \
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bold(b'_2) = (0, 1, a_3, a_4, ...) $
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Diese Basisvektoren sind linear unabhaengig und jedes Element laesst sich durch Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen.
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Da sich der Kern durch zwei Basisvektoren darstellen laesst, folgt:
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$ dim(ker(psi)) = 2 $
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+ Finden Sei eine Basis $b_1, . . . , b_m$ von ker(ψ), die die Form $b_i = (α_i, α_i^2 , α_i^3 , . . .)$ für reelle Zahlen $α_1, . . . , α_m$ hat.
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Jeder Basisvektor vom Kern muss im Kern liegen, also:
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$ alpha^n = alpha^(n-1) + alpha^(n-2), quad forall n > 2 $
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Hier waehlen wir $n=2$ o.E.d.A, da wir die Gleichung immer durch $alpha^t$ teilen koennen, da $alpha != 0$, da der Nullvektor kein Basisvektor vom Kern sein kann.
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Wir wollen also die folgende Gleichung loesen:
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$ alpha^2 - alpha - 1 = 0 $
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Nach der Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung folgt fuer $alpha$:
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$ alpha = (1+ sqrt(5))/2, quad dash(alpha) = (1- sqrt(5))/2 $
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Da der Kern zweidimensional ist und $bold(b_1)$ und $bold(b_2)$ linear unabhaengig sind, folgt:
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Also folgt fuer diese spezifische Basis von $ker(psi)$:
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$ bold(b)_1 = (alpha, alpha^2, alpha^3, ...), quad bold(b)_2 = (dash(alpha), dash(alpha)^2, dash(alpha)^3, ...) $
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+ Sei die Fibonacci-Folge $(F_n)_(n∈N)$ definiert durch: $F_1 = 1, F_2 = 1, F_(n+2) = F_(n+1) + F_n$ für alle $n ∈N$. Zeigen Sie, dass $F_n ∈ker(ψ)$ liegt und schreiben Sie $(F_n)$ als Linearkombination ihrer Basis $b_1, . . . , b_m$.
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$ F_(n+2) &= F_(n+1) + F_n \
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<==> F_(n) &= F_(n-1) + F_(n-2), forall n > 2 $
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Damit liegt $F_n$ nach @ker im Kern von $psi$.
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Wir wissen, dass $F_1 = 1$ und $F_2 = 1$, wodurch $F_((0)) = 0$ sein muesste.
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Ermitteln von $c_1, c_2$, durch einsetzen in die bekannte Gleichung fuer ein Element des Kerns:
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$ 0 &= c_1 ((1+ sqrt(5))/2)^0 + c_2 ((1- sqrt(5))/2)^0 <==> c_1 = - c_2 \
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1 &= c_1 (1+ sqrt(5))/2 + c_2 (1- sqrt(5))/2 \
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<==> 1 &= c_2 (1- sqrt(5))/2 - c_2 (1+ sqrt(5))/2 <==> 1 = (-2 sqrt(5))/2 c_2 ==> c_2 = -1/sqrt(5) \
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therefore &underline(c_2 &= -1/sqrt(5)) = - c_1 ==> underline(c_1 = 1/sqrt(5)) $
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Also:
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$ (F_n) = 1/sqrt(5) bold(b)_1 - 1/sqrt(5) bold(b)_2 $
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+ Bestimmen Sie eine Formel $F_n = sum^m_(i=1) c_i alpha_i^n$ , mit der die Fibonacci-Folge direkt berechnet werden kann.
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Wir wissen aus den Vorherigen Aufgabenteilen alles um eine geschlossene Form fuer die Fibonaccifolge aufzuschreiben.
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Wir muessen nur das Element der beiden Basisvektoren an $n$ Stelle ermitteln, was wir durch die Eigenschaft der Basisvektoren von Aufgabenteil b) tun koennen.
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Also ergibt sich die geschlossene Formel als:
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#rect($ F_n = 1/sqrt(5) ((1+ sqrt(5))/2)^n - 1/sqrt(5) ((1- sqrt(5))/2)^n $)
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