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86 lines
1.4 KiB
Typst
86 lines
1.4 KiB
Typst
#import "./preamble.typ": *
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#show: conf.with(num: 4)
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= Studienleistungen
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- mind. 2x vorrechnen
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= Integration
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#flashcard(0)[onw][
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sf
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Idee:
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- Differenzieren:
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$
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F: I -> RR \
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F'(x) = lim_(x -> oo)
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$<okay>
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Die Idee ist nach einer Funktion zu fragen, welche die Vorschrift $F' = f$ erfuellt.
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Dazu kann in 2 Dimensionen der Flaecheninhalt unter dem Graphen der Funktion ermittelt werden.
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== Unbestimmte Integration
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Frage:
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Gegeben sei ein Intervall $I$ in RR und eine Funktion $f: I -> RR$
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Finden wir $F: I -> RR$ mit $F' = f$?
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#definition[
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Gegeben: $I <= RR$ Intervall
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$F, f: I -> RR$
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- $F$ eine Stammfunktion zu f auf I oder unbestimmtes
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]
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Beachte:
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Gegeben seien Stammfunktionen $F_1, F_2$ zu $f$
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$
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==> (F_1 - F_2)'(x) = f(x) - f(x) = 0\
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==> F_1 - F_2 "konstant auf" I
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$
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Man ueberprueft ob eine Funktion eine Stammfunktion ist anhand der Definition.
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Nicht jede Funktion hat eine Stammfunktion.
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#theorem[
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Zwischenwertsatz fuer Ableitungen
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Sei $F: [a,b] -> RR$ diffb.
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$
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==> F' "nimmt auf" (a,b) "jeden Wert zwischen" F'(a) "und" F'(b) "an".
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$ <zws>
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#proof[
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// TODO: write this proof
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Die Funktion, welche eine Stufenfunktion ist hat keine Stammfunktion, da sie im Widerspruch zu Satz @zws steht.
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#theorem[
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Summenregen fuer Integration
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Seien $I, I_0 "Intervalle in" RR$ uns $alpha_1, ... alpha_n in RR$
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- Gegeben:
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$f_1, ...,f_n I -> RR $
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// TODO: zuende schreiben
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]
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