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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Weiter bei der gedaempften Schwingung
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Wir betrachten wieder den klassischen RLC Schwingkreis.
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Die Differentialgleichung kann mittels einer Masche aufgestellt werden
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$
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L (dif I) / (dif t) + I R + Q/C = 0 \
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=> L (dif ^2 I) / (dif t^2 ) + (dif I) / (dif t) R + I/C = 0.
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$
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Das ergibt dann die allgemeine Loesung
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$
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I = A_(1) e ^(- (alpha - beta)t) + A_(2) e^(- (alpha + beta)t).
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$
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Die $A_(1) $ und $A_(2) $ lassen sich aus den Anfangsbedingungen berechnen.
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Fuer $alpha$ und $beta$ ergibt sich dann
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alpha = R/(2 L) , space beta = sqrt((R^2 ) / (4 L^2 ) - 1/(L C)).
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$
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Je nach Groesse von R, C und L unterscheidet man wie beim klassischen harmonischen Oszillator in drei Faelle. Die gedaempfte Schwingung bei imaginaeren $beta$, den aperiodischen Grenzfall bei $beta = 0$ und den Kriechfall bei rellem $beta$.
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Bei diesem RLC Schwingkreis wird die Energie im System zwischen der Feldenergie im Kondensator und der Energie in der Spule hin und her transferiert.
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Die Energien sind gegeben durch
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W_("Spule") = 1/2 L I^2 \
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W_("Kondensator") = 1/2 C U ^2.
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$
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Die Eigenfrequenz ist gegeben durch
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omega_0 = 1/(sqrt(L C))
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$
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Im sog. Funkenschwingkreis kann dem System periodisch bei einer bestimmten Spannung Energie hinzugefuegt werden. Ein Funkenstoss fuehrt zu einer Entladung von C und das wiederrum zu einem Magnetfeld von L. Der Abbau von B fuehrt zu einer Umladung von C und das fuehrt zu einer geaempften Schwingung.
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Q: Warum entlaedt sich der Kondensator wenn dieser an einer konstanten Spannungsquelle angeschlossen ist? Verstehen von diesem Stromkreis.
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Q: Wie kann durch die Reihenfolge von Widerstand und Kondensator ein Hoch- und Tiefpassfilter gebaut werden?
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Elektrische Schwinkreise koennen auch induktiv (wie beim Transformator) gekoppelt werden.
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Ein Telsa Tranformator kann hochfrequente Hochspannungen erzeugen.
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Q: Haengt die Schwingfrequenz nicht von der Toleranz der Funkenbruecke ab?
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== 5.3 Herzscher Dipol
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Der herzsche Dipol wird auch als offener Schwingkreis bezeichnet. Ein kleines Leiterstueck ist ein offener Schwinkreis. Im geschlossenen Schwingkreis ist
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die Energie in entweder der Spule oder dem Kondensator lokalisiert. Im offenen Schwingkreis kommt es zur Energieabstrahlung von elektromagnetischen Wellen.
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Das wird auch als Antenne bezeichnet.
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Die Vorstellung ist hier, dass L und C gleichmaessig verteilt sind. Es ist die Induktivitaet des Drahtes und die Kapazitaet ist die Kapazitaet des Drahtes zur Umgebung.
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Es wird auf jeden Fall so sein, dass die Induktivitaet und Kapazitaet klein sind, wodurch die Eigenfrequenz gross wird. Die Kapazitaet ergibt sich zwischen der Erde und der Antenne.
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Statt einer Funkenstrecke kann eine Triode verwendet werden.
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