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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 16,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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E: 18.06.2025
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= Magnetfelder einer Spule
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Es gilt fuer den Laplace-Operator
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Delta arrow(A) = - mu_0 arrow(j) \
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Delta = arrow(nabla) ^2 = (partial_ (x) ^2 + partial_(y) + partial_(z) ^2 ) \
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=> Delta arrow(A) = vec(partial_(x) ^2 A_(x) + partial_(y) ^2 A_(x) + partial_(z) ^2 A_(x), partial_(x) ^2 A_(y) + partial_(y) ^2 A_(y) + partial_(z) ^2 A_(y), partial_(x) ^2 A_(z) + partial_(y) ^2 A_(z) + partial_(z) ^2 A_(z)) \
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Delta f = (partial_(x) ^2 + partial_(y) ^2 + partial_(z) ^2 )f = arrow(nabla) (arrow(nabla) f).
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$
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Fuer eine Ampere'sche Schleife gilt
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integral.cont arrow(B) d arrow(s) = integral_(a)^(b) arrow(B) d arrow(s) + integral_(c)^(d) arrow(B) d arrow(s) \
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= (B_1 - B_2 ) L = mu_0 I = 0 \
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=> B_1 = B_2.
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Bei unendlich langen Spulen ist das Magnetfeld aussen gleich Null.
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In der gegebenen Abbildung ist doch nur eine kleine Spule dargestellt.
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#highlight[TODO: what is the definition of j]
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=== 3.4.1 Realisierung homogener Magnetfelder
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Ausserhalb einer Spule kann ein homogenes Magnetfeld durch ein Helmholtzspulenpaar erstellt werden. Dazu siehe die Abbildung.
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=== 3.4.2 Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilung
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Das Amperesche Gesetz fuer stationare Stroeme ist eimmer gueltig, aber nur in speziellen Situationen anwendbar.
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Dies gilt nur wenn $B$ vor das Integral gezogen werden kann, z.B. in einem unendlich langen Leiter.
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Ansonsten benoetigen wir einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld.
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Allgemeine gilt die Gleichung
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Delta arrow(A) = - mu_0 arrow(j).
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Diese kann mittels der Green-Funktion geloest werden.
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#theorem[
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Biot-Savart Gesetz.
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Es gilt
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arrow(A) (arrow(r)) = (mu_0 ) / (4 pi) integral (arrow(j) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d V'.
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Aequivalent gilt dann durch $arrow(B) = arrow(nabla) times arrow(A)$
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arrow(B) (arrow(r)) = (mu_0) / (4 pi) integral (arrow(j) (arrow(r)') times (arrow(r)- arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3 ) d V'.
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] <bio>
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Dieses Gesetz in @bio kann vereinfacht werden, falls der Strom nur in einem duennen linienfoermigen Leiter fliesst, zu
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arrow(B) (arrow(r)) = (mu_0 I) / (4 pi) integral ((d arrow(l) times hat(r))) / (r^2 ).
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Hier gilt also
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integral arrow(j) * d V' = integral d arrow(s)' underbrace(integral arrow(j) * d A', = I) = I integral d arrow(s)'.
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#remark[
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Das Biot-Savart Gesetz gilt _nicht_ fuer einzeln bewegte Ladungen, da es nur fuer stationaere Stroeme gilt.
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]
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=== 3.4.3 Anwendung des Biot-Savart Gesetzes
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Dies erfolgt am Beispiel einer kreisfoermigen Stromschleife.
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Die Berechnung erfolgt nur fuer Punkte auf der Symetrieachse, da es anderswo komplizierter ist.
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Zunaechst betrachten wir
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integral (d arrow(s)' times (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')^3 ) \
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arrow(r) = z * hat(z) \
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arrow(r) - arrow(r)' = vec(0, 0, z) - a vec(cos phi, sin phi, 0) = vec(-a cos phi, - a sin phi, z) \
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d arrow(s)' = a * d phi * hat(phi) \
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hat(phi) = vec(- sin phi, cos phi, 0)
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=> d arrow(s)' = a * d phi * vec(- sin phi, cos phi, 0).
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Dadurch folgt durch zusammensetzen
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d arrow(s)' times (arrow(r) - arrow(r)') = a d phi vec(- sin phi, cos phi, 0) times vec(-a cos phi, -a sin phi, z) = a * d phi * vec(z cos phi, z sin phi, a).
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Berechne $B_(x) , B_(y) , B_(z) $ einzeln
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B_(x) = (mu_0 I) / (4 pi) integral _(0) ^(2 pi) (z cos phi * a * d phi) / (a ^2 + z ^2) ^(3/2) =^("Integral") 0 \
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=> ^("Rotationssymetrie") B_(y) = 0.
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Betrachte die $B_(z) $ Komponente des Kreuzproduktes und berechne
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B_(z) = (mu_0 I ) / ( 4 pi) integral_(0)^(2 pi) (a^2 * d phi ) / ((a^2 + z^2 )^(3/2) ) = 1/2 mu_0 I (a^2 ) / ((a^2 + z^2 )^(3/2) ).
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Fuer $z >> a$ ergibt sich dann
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B_(z) approx 1/2 mu_0 I a^2 /z^3.
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Dies laesst sich mit der Kreisflaeche des Leiters $arrow(A) = pi a ^2 hat(z)$ umformen zu
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arrow(B) = mu_0/(2 pi) (I arrow(A)) / (z^3 ),
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wobei $arrow(A)$ hier natuerlich nicht das Vektorpotential ist. Die Groesse $arrow(p)_(m) = I arrow(A)$
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wird magnetisches Dipolmoment genannt, hier also das einer Stromschleife. $arrow(A)$ ist hier wieder die Flaeche. Es folgt also fuer die Naeherung
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arrow(B) = (mu_0 arrow(p)_(m) ) / (2 pi z^3 ).
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Der Strom selber ist ein Skalar und die Stromdichte ist eine Vektorielle Groesse.
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Die Vektorielle Groesse kann mittels der Eigenschaft eines nicht ausgerichteten Stroms eliminiert werden.
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== 3.5 Kraft auf Stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld
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Allgemein gilt die empirisch gefundene allgemeine Lorentzkraft
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#highlight[TODO: wikipedia level explaination of this in detail]
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F = q (arrow(v) times arrow(B) + arrow(E)).
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Was ist das $q$ in einem stromdurchflossenen Leiter?
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Im allgemeinen ist dies nur eine einzelne Ladung, jedoch kann dies durch die Ladungsdichte mal dem Volumen eines kleinen Leiterstueckes betrachtet wird
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Q = rho V = q * n * A * d L,
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wobei $Q$ die Gesamtzahl der Ladungen, $n$ die Ladungstraegerdichte und $A$ die Querschnittsflaeche des Leiters ist.
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Damit folgt dann fuer ein Leiterstueck
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d arrow(F)_(L) = n * q * A * d L (arrow(v) times arrow(B)).
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Und mit der Stromdichte $arrow(j) = n * q * arrow(v)_("Drift") $ ergibt sich dann
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d arrow(F)_(L) = A * d L (arrow(j) times arrow(B)) = I (d underbrace(arrow(L), "Richtung tech. Strom") times arrow(B)).
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Dies ist also die Kraft auf ein stromdurchflossenes Leiterelement in einem externen Magnetfeld.
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= Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
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Das magnetfeld von einem Draht hat die Form
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arrow(B) = (mu_0 ) / (2 pi r) I hat(phi).
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Somit ergibt sich fuer die Kraft auf den einen Leiter
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d arrow(F)_(L) I (d arrow(L) times arrow(B)) \
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d arrow(L) perp hat(phi) => d arrow(F) = I_(1) d L (mu_0 I_(2) ) / (2 pi r) hat(r).
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Falls der Strom durch beide Leiter $1"A"$ ist und der Abstand gleich der Laenge gleich $1"m"$ ist, so betraegt die Kraft zwischen den Leitern
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F = (mu_0 ) / (2 pi) = 2 * 10 ^(-7) N.
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Das Ampere ist genau so definiert, dass es passt. Diese Kraft kann mit zwei parallelen stromdurchflossenen Leitern demonstriert werden.
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