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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 16,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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= Das Hamiltonsche Prinzip
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Die Wirkung $S$ ist gegeben als ein Skalar gegeben durch das Funktional der erlaubten Bahnkurven
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$
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S [q] = integral _(t_1 ) ^(t_2 ) d t L (q, dot(q), t),
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$
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mit $q = (q_1 ,q_2, ..., q_(f) ), dot(q)_(k) = (dif q_(k) ) / (dif t), q_(k) (t_1 ), q_(k) (t_2 ) "fest" $.
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Die physikalische Loesung folgt dann aus dem Extremem der Wirkung
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delta S =^(!) 0
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bei Variation der $q_(k) : (delta q_(k) = 0 )$
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q_(k) -> tilde(q)_(k) + delta q_(k).
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Aus der Variationsrechnung folgt dann die Euler-Lagrange Gleichung
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dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) = 0.
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Die allgemeine Variationsrechnung ist dann gegeben durch
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J [y]= integral_(s_1 )^(s_2 ) d s F (y, y', s), y' = (dif y) / (dif s).
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= Diskussion
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- Bisher haben wir ein AWP der Form $q_(k) (t_0 ), dot(q)_(k) (t_0 )$ mit $2 f$ Konstanten
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- Mit dem Hamiltonschen Prinzip (HP) hat das AWP einfach die Form $q_(k) (t_1), q_(k) (t_2 )$ also wieder $2 f $ Konstanten
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#example[
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Wurf von Kreide.
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Die Frage ist mit welchen Anfangsbedingungen muss ich starten, damit ich dort hinten ankomme. Waehle also $dot(x), dot(z)$ bei $t_1 $ so, dass $(x, z) = (x_0 , 0)$ bei $t_2 $.
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Es gibt also einen eindeutigen Punkt bei dem wir schreiben koennen
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x_0 = x_0 (dot(x) (t_1 ), dot(z) (t_1 ))
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]
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In der Mechanik treten immer DGL von 2. Ordnung in der Zeit auf. Ist das immer so in der Variationsrechnung?
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Wichtig ist noch das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Stetigkeit des Funktionals. Nicht jedes Funktional laesst sich mit der Euler-Lagrange Gleichung loesen.
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