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Typst
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// Load the preamble
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#import "../conf.typ": conf
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#show: conf.with(week: "7")
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= Vektorraeume
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Fuer eine Matrix $A = (a_(i j)) in K^(n times n)$ definieren wir die Reiehen- und Spaltensummen durch
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$ R_r (A) := sum^n_(i = 1) a_(r i) quad "und" quad S_s (A) := sum^n_(i = 1) a_(i s) . $
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Sei $V$ die Menge aller $n times n$- Matrizen fuer die alle Reiehen- und Spaltensummen gleich sind.
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Also
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$ V:= {A in K^(n times n):R_r (A) = S_s (A) "fuer alle" r, s = 1, ..., n} $
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+ Zeigen Sie, dass $V$ ein Untervektorraum von $K^(n times n)$ ist.
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Seien $v, w in V$.
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Bei der Matrixaddition werden alle Reiehen und Spalten addiert. Dabei gilt:
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$ v_(i j) = c_1, quad w_(i j) = c_2 $
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Also
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$ v_(i j) + w_(i j) = c_1 + c_2 = c => v + w in V $
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$ lambda v = lambda v_(i j) = lambda c_1 = c => lambda v in V $
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+ Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von $V$.
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Wir koennen alle Eintraege von $v in V$ beliebig waehlen, bis auf jeweils die letzen innerhalb einer Zeile oder Spalte. Daraus muss folgen:
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$ dim(V) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2 $
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= Einheitsmatrix
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Sei $A in K^(n times n)$ mit der Eigenschaft, dass $A B = B A, quad forall B in K^(n times n)$ gilt.
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Zeigen Sie, dass $A = lambda E_n$ fuer ein $lambda in K$ ist.
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Hier gilt es zu zeigen, dass nur ein Vielfaches der Einheitsmatrix die Kommutativit mit einer beliebigen Matrix $B$ erfuellt.
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Sei $B = bb(1)$. Falls $A = bb(1)$ dann waehle $B != bb(1) and B != bb(0)$.
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Angenommen fuer $A$ gilt, dass $exists a_(i j): i != j: a = lambda != 0$.
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Nach Matrixmultiplikationsvorschrift ist diese nicht kommutativ $arrow.zigzag$.
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Wir wissen also, dass $A = mat(a, 0, 0, 0, ...;0, b, 0, 0, ...; 0, 0, c, 0, ...; 0, 0, 0, d, ...; dots.v, dots.v, dots.v, dots.v, dots.down)$ sein muss.
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Angenommen $a, b, c, ...$ sind ungleich. Dann laesst sich wieder durch Matrixmultiplikation ein Widerspruch erzeugen.
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Falls nun aber $a = b = c = ...$, dann ist $A = lambda E_n$.
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$qed$
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= Inverse einer Matrix
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Bestimmen Sie das Inverse der Matrix $A = mat(1, -1, 0, 1; 1, 0, -1, 1; 2, 3, -4, 1; 1, 0, 0, 1)$.
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Anwenden des Gaussverfahrens mit der Erweiterten Matrix:
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$ mat(1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 0;
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1, 0, -1, 1, 0, 1, 0, 0;
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2, 3, -4, 1, 0, 0, 1, 0;
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1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1; augment: #4) $
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= Abbildungsmatrix
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Sei $frak(B)_1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}$ eine Basis von $QQ^3$ und $frak(B)_2 = {(1,1), (-1, 1)}$ eine Basis von $QQ^2$. Sei $phi: QQ^3 -> QQ^2$ gegeben durch die Abbildungsmatrix
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$ A = mat(1, 2, 3; 4, 5, 6) $
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+ Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $A'$ von $phi$ bezueglich der Basen $frak(B_1)$ und $frak(B_2)$.
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+ Nach der Vorlesung gibt es $X in Q^(3 times 3)$ und $Y in QQ^(2 times 2)$, sodass $A = X A' Y$ gilt.
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Bestimmen Sie $X$ und $Y$. |