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)

= Uebersicht

== 1.4. Das elektrostatische Potential und die Arbeit im elektrischen Feld

==== Vorbemergungen zur Roration eines Vektorfeldes

Fuer Vektorfelder gilt der Satz von Stokes.

#theorem([Stoke'scher Satz])[
	 Es gilt fuer jedes Vektorfeld
	$
		integral _(A) arrow(nabla) times arrow(E) d A =  integral_(C)  arrow(E) d arrow(s).
	$
	Das Integral einer Ableitung ueber ein Geiebt gleich dem Funktionswert an seinen Grenzen (der Rand der Flaeche).
]

$
	integral _(A) arrow(nabla) times d arrow(A) = integral.cont arrow(E) d arrow(s).
$

Rotation misst die Verdrillung eines Vektorfeldes; Gebiet mit hoher Rotation ist ein Wirbel.\
Der Fluss der Rotation durch eine Oberflaeche ist gleich
dem Gesamtbetrag des Wirbels um die Flaeche an der Kante herum.

Das Flaechenintegral ueber die Rotation des elektrischen Feldes
$integral arrow(nabla) times arrow(E) d arrow(A)$
haengt nur von der Randlinie und nicht von der Flaeche ab.

Fuer jede geschlossene Oberflaeche gilt
$
	integral.cont arrow(nabla) times arrow(E) d arrow(A) =  0,
$
da eine Kugel so gewaehlt werden kann dass Begrenzungslinie verschwindet (beziehungsweise sie ist nicht existent) $integral.cont arrow(E) d arrow(s)$.

Beim elektrischen Feld $arrow(E) = (1) / (4 pi epsilon_0 ) (q) / (r^2 ) hat(r)$ wie wir es bisher besprochen hattan (elektrostatisches Feld) laesst sich zeigen
$
	integral.cont arrow(E) d arrow(s) ==>   arrow(nabla) times arrow(E) =  0.
$

Es kann bewiesen werden, dass
$
	arrow(nabla) times arrow(E) <==> arrow(E) =  - arrow(nabla) phi.
$

=== 1.4.1 Arbeit im elektrischen Feld

Um eine Testladung $q_("test") $ im Feld $arrow(E) (arrow(r))$ entlang der Kurve C zu verschieben
wird die folgende Arbeit verrichtet
$
	W = integral.cont arrow(F) d arrow(s) = q_("test")  integral.cont arrow(E) d arrow(s),
$
falls $W>0$ dann gewinnt die Ladung Energie (hier potentielle Energie), sonst verliert die Ladung Energie (bzw. bleibt konstant).

#example([Punktladung am Ursprung])[
	Betrachte ein elektrisches Kraftfeld der Form
	$
		arrow(E) (arrow(r)) =  (q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(r)) / (r^2 ).
	$
	Nun wird die Arbeit um von Punkt $A$ zu Punkt $B$ zu kommen auf zwei verschiedenen Wegen ermittelt.
	Dabei kommt raus, dass die Arbeit nur von Start und Endpunkt abhaengt $==>$ konservatives Kraftfeld.
]

=== 1.4.2 Elektrisches Potential und Spannung

Da Linienintegral Wegunabhaengig kann die skalare Funktion $Phi$ (das elektrische Potential) definiert werden
$
	Phi (arrow(r)) := integral_(arrow(r))^(oo) arrow(E) (arrow(r)) d arrow(s).
$
Es wird die Normierung $Phi (oo) = 0$ verwendet.
Hier kann $arrow(E)$ als Gradient des Potentials geschrieen werden
$
	arrow(E) =  - arrow(nabla) Phi (arrow(r)), space Phi (r) =  (q_1 ) / (4 pi epsilon_0 ) (1) / (abs(r - r_1 )), r_1: "Position der Ladung"
$

#remark[
	Der Gradient macht aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld.
]

Falls das Linienintegral vom Weg abhaengen wuerde, dann wuerde die Definition eines allgemeinen Potentials nicht wohldefiniert sein.
Fuer Potentiale gilt auch das Superpositionsprinzip
$
	Phi (arrow(r)) =  sum_(i=0)^(N) (q_i ) / (4 pi epsilon_0 ) (1) / (abs(arrow(r)- arrow(r'))) .
$
Eine Aequipotentialsflaeche ist eine Flaeche auf der $Phi$ konstant ist.
Die Geometrie dieser haengt von der Form der Ladung ab.

Dabei faellt auf, dass die Feldlinien immer $perp$ auf Aequipotentialflaechen sind.
Ware das nicht so gaebe es Vektorkomponenten von $arrow(E)$ in der Aequipotentialflaeche dann wegen
$
	arrow(E) =  - arrow(nabla) Phi
$
auch Komponente von $arrow(nabla) Phi ==> Phi$ wuerde dann innerhalb der Aequipotentialfaleche aendern. Widerspruch.

#definition[
	Die *elektrische Spannung* $U$ ist als die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten im Raum definiert
	$
		U_(1 2) := Phi (arrow(r)_(2) - Phi (arrow(r)_(1)) ), space [U] =  1 ("Nm") / ("As") = 1"V".
	$
	Arbeit im $arrow(E)$-Feld kann so auch durch die Spannung charakterisiert werden
	$
		W_(1 2) =  q integral_(r_1 )^(r_2 ) arrow(E) d arrow(s) =  q U_(1 2).
	$
]

Die Energie die ein Elektron braucht um eine Potentaldifferenz von $1"V"$ zu ueberqueren betraegt ein elektron Volt $["eV"]$.

== 1. Maxwellgleichung

$
	arrow(nabla) * arrow(E) = (rho) / (epsilon_0 ), space "da" arrow(E) =  - arrow(nabla) Phi \
	==> arrow(nabla) * arrow(nabla)  * Phi =  - (rho) / (epsilon_0 ), space arrow(nabla) arrow(nabla) = Delta "Laplace Operator"
$

#theorem[
	Poisson Gleichung.
	Es gilt fuer ein gegebenes elektrisches Potential
	$
		Delta Phi =  - (rho) / (epsilon_0 ).
	$
]