// Load the preamble
#import "../conf.typ": conf
#show: conf.with(week: "3")

// Aufgabe 1
= Ringe mit Addition und Multiplikation

+ Zeigen Sie, dass
  $ (ZZ slash 5 ZZ)^* := {1+ 5 ZZ, 2 + 5 ZZ, 3 + 5 ZZ, 4 + 5 ZZ} subset ZZ slash 5 ZZ $
  
  $ (ZZ slash 9 ZZ)^* := {1+ 9 ZZ, 2 + 9 ZZ, 4 + 9 ZZ, 5 + 9 ZZ, 7 + 9 ZZ, 8 + 9 ZZ} subset ZZ slash 9 ZZ $
  
  jeweils eine Gruppe bezueglich Multiplikation sind.
  
  //////////////////////////////
  Geforderte Eigenschaften an eine Gruppe:

  - Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier Elemente muss wieder in der Gruppe sein.
  
  - Inverses Element: Jedes Element muss ein multiplikatives Inverses in der Gruppe haben.
  
  - Assoziativität: Diese Eigenschaft wird von den ganzen Zahlen vererbt. $checkmark$
  
  - Neutrales Element: Es muss ein neutrales Element in der Gruppe geben. Dieses ist hier die 1. $checkmark$
  
  Für $(ZZ slash 5 ZZ)^*$ gibt es durch Modulo-Rechnen folgende Elemente in der Gruppe $E = {1, 2, 3, 4}$.
  
  Das Produkt zweier Elemente aus $E$ ergibt wieder ein Element in dieser Menge:

  $ 1 dot 1 = 1, 1 dot 2 = 2, 1 dot 3 = 3, 1 dot 4 = 4 $
  
  $ 2 dot 2 = 4, 2 dot 3 = 1, 2 dot 4 = 3 $
  
  $ 3 dot 3 = 4, 3 dot 4 = 2 $
  
  $ 4 dot 4 = 1 $
  
  Jedes Element hat ein Inverses:
  
  $ 1^(-1) = 1, 2^(-1) = 3, 3^(-1) = 2, 4^(-1) = 4 $
  
  Für $(ZZ slash 9 ZZ)^*$ gibt es durch Modulo-Rechnen folgende Elemente in der Gruppe $E = {1, 2, 4, 5, 7, 8}$.
  
  Das Produkt zweier Elemente aus $E$ ergibt wieder ein Element in dieser Menge:

  $ 1 dot 1 = 1, 1 dot 2 = 2, 1 dot 4 = 4, 1 dot 5 = 5, 1 dot 7 = 7, 1 dot 8 = 8 $
  
  $ 2 dot 2 = 4, 2 dot 4 = 8, 2 dot 5 = 1, 2 dot 7 = 5, 2 dot 8 = 7 $
  
  $ 4 dot 4 = 7, 4 dot 5 = 2, 4 dot 7 = 1, 4 dot 8 = 5 $

  $ 5 dot 5 = 7, 5 dot 7 = 8, 5 dot 8 = 4 $

  $ 7 dot 7 = 4, 7 dot 8 = 2 $

  $ 8 dot 8 = 1 $
  
  Jedes Element hat ein Inverses:
  
  $ 1^(-1) = 1, 2^(-1) = 5, 4^(-1) = 7, 5^(-1) = 2, 7^(-1) = 4, 8^(-1) = 8 $
  
  Damit ist alles gezeigt. $qed$

+ Finden Sie ein Element $x in (ZZ slash 9 ZZ)^*$, sodass $angle.l {x} angle.r = (ZZ slash 9 ZZ)^*$ gilt.

  Nach Aufgabe 1a ist hat die Gruppe $(ZZ slash 9 ZZ)^*$ folgende Elemente $1, 2, 4, 5, 7, 8$. Es gilt $abs((ZZ slash 9 ZZ)^*) = 6$.
  
  Durch Testen jedes Elements finden wir, dass $x = 2$ die
  gesamte Gruppe erzeugt, da:
  $ 2^1 = 2 , quad 2^2 = 4 , quad 2^3 = 8 , quad 2^4 = 7 , quad 2^5 = 5 , quad 2^6 = 1 . $
  
  Somit ist $x = 2$ ein Generator von $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$, und wir haben
  $angle.l 2 angle.r = (bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$.

+ Geben Sie einen Isomorphismus zwischen $(ZZ slash 9 ZZ, dot.op)$ und $(ZZ slash 6 ZZ, +)$ an.

  Ein Isomorphismus zwischen den Gruppen $(bb(Z) \/ 9 bb(Z) , dot.op)$ und
  $(bb(Z) \/ 6 bb(Z) , +)$ kann durch die Funktion
  $ phi : (bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*) arrow.r bb(Z) \/ 6 bb(Z) $ gegeben
  werden, wobei $phi (x)$ die Ordnung von $x$ in $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$
  modulo 6 ist.
  
  Wählen wir nach Aufgabe 1b $x = 2$ als Generator von $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$, so
  laesst sich $phi$ definieren durch $ phi (2^k) = k mod 6 . $
  
  Diese Zuordnung ist ein Isomorphismus, da sie bijektiv ist und die
  Gruppenoperationen respektiert:
  
  $ phi (2^k dot.op 2^m) = phi (2^(k + m)) = (k + m) mod med 6 = phi (2^k) + phi (2^m) . $

 Ist $(ZZ slash 5 ZZ)^∗$ auch zu einer Gruppe der Form $ZZ slash n ZZ$ für ein $n ∈ N$ isomorph? Falls ja, geben Sie einen Isomorphismus an.
  
  Die Gruppe $(bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*)$ ist also isomorph zu
  $bb(Z) \/ 4 bb(Z)$, da beide Gruppen die gleiche Ordnung haben und
  zyklisch sind.
  
  Ein Isomorphismus zwischen $(bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*)$ und
  $bb(Z) \/ 4 bb(Z)$ ist durch die Abbildung
  
  $ phi : (bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*) arrow.r bb(Z) \/ 4 bb(Z) , quad phi (1) = 0 , quad phi (2) = 1 , quad phi (3) = 3 , quad phi (4) = 2 $
  
  gegeben.


// Aufgabe 2
= Homomorphismen

Seien $G$ und $H$ Gruppen. Angenommen $G$ ist endlich und ihre Ordnung eine Primzahl $p$. Zeigen Sie:

+ Jeder Homomorphismus $phi: G arrow H$ ist entweder trivial oder injektiv.

  Sei $phi.alt : G arrow.r H$ ein Homomorphismus. Da $G$ endlich und
  $lr(|G|) = p$ eine Primzahl ist, gilt nach Lagrange für jede Untergruppe von $G$
  entweder $lr(|H|) = 1$ oder $lr(|H|) = p$.
  
  Fuer den Kern gilt:
  
  $ phi (e_G) = e_H ==> ker (phi) != emptyset $

  Sei $a, b in ker (phi)$. Dann:

  $ phi (a) = e_H "und" phi (b) = e_H $

  Da $phi$ ein Homomorphismus ist, folgt:

  $ phi (a dot b) = phi (a) dot phi (b) = e_H dot e_H = e_H $

  Also ist $a dot b in ker (phi)$
  
  Sei $a in ker (phi)$. Dann:

  $ phi (a) = e_H $

  Da $e_H = e^(-1)_H$ folgt:

  $ phi (a^(-1)) = phi (a)^(-1)) = e_H^(-1) = e_H $

  Da alle Eigenschaften fuer eine Untergruppe, namentlich nicht Leerheit, Abgeschlossenheit und die Existenz eines Inversen gegeben sind, ist das Kernbild des Homomorphismus, $ker (phi)$, eine Untergruppe von $G$.
  
  Falls $abs(ker (phi)) = G$, ist $phi$ trivial. Andernfalls ist
  $lr(|ker (phi)|) = 1$, was bedeutet, dass $ker (phi) = { e }$,
  das neutrale Element.

  Angenommen $phi (a) = phi (b)$ fuer beliebige $a, b in G$, dann:

  Wir betrachten das Element $a dot b^(-1) in G$ fuer beliebige $a, b in G$.
  
  $ phi (a dot b^(−1))=phi (a) dot phi (b^(−1)) $

  Da $phi (a) = phi (b)$ und $phi (b^(-1)) = phi (b)^(-1)$, folgt:

  $ phi (a dot b^(−1))=phi (a) dot phi (a)^(−1) = e_H $

  Da $a dot b^(-1)$ nun im Kern ist, aber $ker (phi) = {e}$, folgt:

  $ a dot b^(-1) = e ==> a = b $

  Da $phi (a) = phi (b) ==> a = b$ ist $phi$ injektiv.

+ Jeder Homomorphismus $phi: H arrow G$ ist entweder trivial oder surjektiv.

  Sei $phi : H arrow.r G$ ein Homomorphismus. Da $G$ die
  Ordnung $p$ hat, ist jede echte Untergruppe von $G$ trivial. Das
  Bild $"im"(phi)$ ist nach dem selben Argument wie in 2a eine Untergruppe von $G$, daher gilt
  $lr(|"im"(phi)|) = 1$ oder $lr(|"im"(phi)|) = p$.
  
  Falls $lr(|"im"(phi)|) = 1$, ist $phi$ trivial. Sonst ist
  $lr(|"im"(phi)|) = p$, was bedeutet, dass $"im"(phi) = G$.

  Fuer surjektivitaet gilt es jetzt zu zeigen, dass
  
  $ ∀y∈G: ∃x∈G: ϕ(x)=y. $

  Dabei gilt:

  $ im (phi) = G ==> forall y in G: y in im (phi) $

  $ y in im (phi) ==> exists x in G: phi (x) = y $
  
  also ist $phi$ surjektiv.

// Aufgabe 3
= Vektorraeume I

Wir betrachten den Vekorraum $V = RR^4$ mit den folgenden Unterraeumen:

$ U_1 = angle.l {(0, 1, 0, 2), (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 1, 0)} angle.r, U_2 = angle.l {(1, 0, 3, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 3, 3, 3)} angle.r $

+ Bestimmen Sie $U_1 sect U_2$.

  *Loesung* in Papierform.

//  Pruefen auf lineare Unabhaengigkeit der beiden Unterraeume:
//
//  $ U_1:  a vec(0, 1, 0, 2) + b vec(1, 0, 1, 0) + c vec(-1, 0, 1, 0) =^! 0 $
//  
//  $ U_2: a vec(1, 0, 3, 0) + b vec(0, 1, 0, 0) + c vec(1, 3, 3, 3) =^! 0 $
//
//  Das Loesen mithilfe eines CAS liefert nur die triviale Loesung.
//  
//  Da jeweils alle drei Vektoren voneinander linear unabhaengig sind, koennen wir keinen verwerfen.
//
//  Aufstellen des Gleichungssystems:
//
//  $ mat(0, 1, -1, -1, 0, -1, 0;
//        1, 0, 0, 0, -1, -3, 0;
//        0, 1, 1, -3, 0, -3, 0;
//        2, 0, 0, 0, 0, -3, 0) $
//
//  Loesen durch ein CAS ergibt folgenden Loesungsvektor:
//
//  $ X = vec(3/2 b, 2 a+2 b, a+b, a, -3/2 b, b) $
//
//  Einsetzen in die Gleichung von $U_2$ oder $U_1$ gibt:
//
//  $ a vec(1, 0, 3, 0) + b vec(2, 3, 6, 6) $
//
//  Also gilt:
//
//  $ U_1 sect U_2 = angle.l {(1, 0, 3, 0), (2, 3, 6, 6)} angle.r $
  
+ Ist $U_1 union U_2 = V$?

  //TODO
  *Loesung* in Papierform.

// Aufgabe 4
= Vektorraeume II

+ Zeigen Sie, dass die Menge
    $ V = {(x_1, x_2, x_3) in QQ^3: 7x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0} $
  ein Untervektorraum von $QQ^3$ ist.

  Sei $V = { (x_1 , x_2 , x_3) in bb(Q)^3 : 7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3 = 0 }$.
  Um zu zeigen, dass $V$ ein Untervektorraum ist, prüfen wir die drei
  Bedingungen:

  $V$ ist nicht leer: Es gilt $vec(0, 0, 0) in V ==> V != emptyset$.
  
  Abgeschlossenheit unter Addition:
  Fuer $arrow(v) = (x_1 , x_2 , x_3) in V$ und
  $arrow(w) = (y_1 , y_2 , y_3) in V$ gilt:
  $ 7 (x_1 + y_1) + 2 (x_2 + y_2) - 3 (x_3 + y_3) = (7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3) + (7 y_1 + 2 y_2 - 3 y_3) = 0 , $
  also ist $arrow(v) + arrow(w) in V$.
  
  Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation:
  Fuer $arrow(v) = (x_1 , x_2 , x_3) in V$ und $lambda in bb(Q)$ gilt:
  $ 7 (lambda x_1) + 2 (lambda x_2) - 3 (lambda x_3) = lambda (7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3) = 0 , $
  also ist $lambda arrow(v) in V$.

  Restliche Eigenschaften, wie die Assoziativitaet oder Kommutativitaet werden vom Koerper der rationalen Zahlen $QQ$ vererbt.
  
  Da sonst alle drei Bedingungen erfüllt sind, ist $V$ ein Untervektorraum von
  $bb(Q)^3$.

  
+ Zeigen Sie, dass $V = angle.l {(2, -7, 0), (0, 3, 2), (1, 1, 3)} angle.r$ ist.

  *Loesung* in Papierform.

//  Damit $V$ durch die drei Vektoren $r = vec(2, -7, 0), v = vec(0, 3, 2), w = vec(1, 1, 3)$ vollstaendig aufgespannt wird muessen die Vektoren Elemente von V sein.
//  
//  // Was wenn V nur 2dimensional ist?
//  
//  Fuer $r:  7 dot 2 + 2 dot -7 - 3 dot 0 = 14 - 14 = 0$
//  
//  Fuer $v:  7 dot 0 + 2 dot 3 - 3 dot 2 = 0 + 6 - 6 = 0$
//  
//  Fuer $w:  7 dot 1 + 2 dot 1 - 3 dot 3 = 7 + 2 - 9 = 0$
//
//  Es gilt also $r, v, w, in V$.
//
//  Da $w$ linear abhaengig von $v$ und $r$ ist muessen wir diesen nicht betrachten. Berechnen des Kreuzproduktes von $v$ und $r$ liefert:
//
//  $ v times r = vec(7, 2, -3) $
//
//  Deshalb wird die Gesamte Ebene $V$ durch die Vektoren aufgespannt.
  
  
  
+ Ist die Menge

    $ W = {(x_1, x_2, x_3) in QQ^3: 7x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 1} $
  
  ein Untervektorraum von $QQ^3$?
  
  Zuerst pruefe ich ob das neutrale Element in $W$ enthalten ist durch einsezten von $vec(0, 0, 0)$ in das Aussonderungsaxiom der Menge:
  
  $ 7 dot 0 + 2 dot 0 - 3 dot 0 = 0 != 1 $
  
  So kann $W$ kein Untervektorraum von $QQ^3$ sein, da diese Menge kein neutrales Element enthaelt.