// Main VL template
#import "../preamble.typ": *

// Fix theorems to be shown the right way in this document
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
#show: thmrules

// Main settings call
#show: conf.with(
	// May add more flags here in the future
	num: 10,
	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
	date: datetime.today().display(),
	//date: datetime(
	//	year: 2025,
	//	month: 5,
	//	day: 1,
	//).display(),
)

= Uebersicht

Bei der Lagrange II fuer einen MP mit $arrow(r) in RR^(3) $ gilt die Trafo: $x_(i) =  x_(i) (q_1, q_2, q_3 )$, wobei $q_i $ beliebige Koordinaten sind.
Und die $x_(i) $ die kartesischen Koordinaten sind.

Mit Newton gilt
$
	m dot.double(x)_(i) =  f_i , space arrow(f) =  vec(f_1, f_2, f_3 ) \
	<=> dif / (dif t) ((partial T) / (partial dot(q)_(i) ) )- (partial T) / (partial q_i) =  arrow(g)_(i) * arrow(f) , space i =  1,2,3.
$

= Konservative Systeme

Es gilt
$
	arrow(f) =  - arrow(nabla) V (arrow(r)) <=> f_i =  - partial_(i) V , space partial_(i)  =  partial / (partial x_(i) ).
$

Lagrangefunktion
$
	L (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) =  T (q_1, q_2, q_3, dot(q)_(1) , dot(q)_(2) , dot(q)_(3) ) - V (q_1, q_2, q_3 ).
$

Lagrange BWGL II
$
	p_(i) =  (partial L) / (partial dot(q)_(i) )  \
	dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(i) ) - (partial L) / (partial q_(i) ) =  0 , space i = 1,2,3
$
ist forminvariant.

Die skalare Funktion der Lagrangefunktion ist eine Hilfsgroesse, wobei sie beliebigen $q_i "und" dot(q)_(i) $, welche unabhaengige Variablen sind
einen skalaren Wert zuordnet.
Wobei gilt
$
	dot(q) =  (dif q) / (dif t).
$

= Vorgehen

1. Transformation in allgemeine Koordinaten auf deren Bewegung keine Kraefte wirken. Diese muss man Raten oder sie sind vorgegeben
2. Die kinetische und potentielle Energie als Funktion von kartesischen Korrdinaten aufstellen
3. Diese Energien in allgemeine Koordinaten transformieren

Dabei gilt
$
	T =  m/2 dot(x)_(i) , space dot(x) =  m/2 g_(i j) dot(q)_(i) dot(q)_(j) , space g_(i j)  =  g_(i j) (q).
	
$

#example[
	Zentralpotential mit konstantem Drehimpuls
	$
		dif / (dif t) arrow(L) =  0 => 2"D".
	$
	Waehle die generalisierten Koordinaten
	$
		q_(1)  = r, \
		q_(2) = phi.
	$
	Berechne Transformationen
	$
		x_1 =  r cos phi \
		x_2 =  r sin phi \
		dot(x)_(1)  =  dot(r) cos phi - r sin phi dot(phi) \
		dot(x)_(2)  =  dot(r) sin phi + r cos phi dot(phi) \
	$
	Berechne die kinetische Energie
	$
		T &=  m/2 (dot(x)_(1) ^2 +  dot(x)_(2) ^2 ) =  m/2 vec(dot(q)_(1), dot(q)_(2) )^(T)  mat(
			1, 0;
			0, r^2 ;
		) vec(dot(q)_(1) , dot(q)_(2) ) \
		&= m/2 (dot(r)^2 + r^2 dot(phi)^2 ).
	$
	Dann folgt fuer die Lagrangefunktion
	$
		L =  T - V, \
		V =  -alpha/r.
	$
	Berechne die Partiellen Ableitungen
	$
		(partial L) / (partial dot(r) ) =  m dot(r) \
		(partial L) / (partial r) =  m r dot(phi)^2 - V' (r) \
		(partial L) / (partial dot(phi))  = m r^2 dot(phi) , space (partial L) / (partial phi) =  0
		=> m dot.double(r) -  m r dot(phi)^2 + V' (r) = 0 \
		dif / (dif t) (m r^2 dot(phi)) =  0 \
		=> m r^2 dot(phi) =  "const." =  L_(z) =  abs(arrow(L)) =  p_(phi).
	$
]

#example[
Das Mathematische Pendel.

Hier gilt die Transformation
$
	vec(x,y)=  l vec(sin phi, - cos phi)
$
wobei $l$ die Laenge des Pendels ist.

Hier gibt es zwei Zwangsbedingungen, denn es muss immer gelten
$
	g_(2) (x,y,z,t) = x^2 + y^2 - l^2 = 0 \
	g_(1) (x,y,z,t) =  z =  0.
$
Die Zahl der unabhaengigen Koordinaten ist gegeben durch
$
	f =  N - R =  1.
$

Die Lagrange Funktion in kartesischen Koordinaten
$
	L =  T - V =  m/2 (dot(x)^2 +  dot(y)^2 ) - m g y \
	L =  L (phi, dot(phi)) =  m/2 dot(l)^2  dot(phi)^2 + m g l cos phi \
	(partial L) / (partial dot(phi))  =  l^2 m dot(phi) , space (partial L) / (partial phi) =  - m g l sin phi \
	=> l^2 m dot.double(phi) +  m g l sin phi =  0.
$
	Fuer die Zwangskraefte gilt dann
	$
		arrow(Z)_(1) prop	arrow(e)_(z)  \
		arrow(Z)_(2) =  - arrow(f)_(perp).
	$
]

Von den generalisierten Koordinaten wird erwartet, dass sie die Zwangsbedingungen immer erfuellen.

Das Ziel ist nun die Forminvarianz der BWGL fuer N Massepunkte.

#definition[
	Zwangsbedingungen koennen holonom und skeleronom sein.
	Dabei gilt dann fuer die skalare Funktion
	$
		g_(alpha) (arrow(x), t) =  0 , space alpha =  1, ..., R
	$
	wobei $R$ die Anzahl der Zwangsbedingungen ist.
	Es gilt
	$
		arrow(x), arrow(F), m in RR^(3 N).
	$
]

Im allgeinen ist die Anzahl der unabhaengigen Koordinaten gegeben durch
$
	f =  3 N - R.
$

#definition[
	Fuer jede Zwangsbedingung $g_(alpha) $ gibt es eine Zwangskraft $arrow(Z)_(alpha) $, welche diese Zwangsbedingung physikalisch realisiert.
	Diese sind im allgemeinen nicht zeitlich konstant.
]

Als Loesungsansatz gilt dann
$
	arrow(Z)_(alpha) = lambda_(alpha) arrow(nabla) g_(alpha) => "skalare Groesse" lambda_(alpha). 
$

= Lagrangegleichung I fuer N MP

Zunaechst sei angenommen $R <= 2$ und
$
	m dot.double(arrow(r)) =  arrow(f) +  sum_(alpha = 1)^(R) lambda_(alpha) arrow(nabla) g_(alpha) \
	g_(alpha) (arrow(r), t) =  0.
$

Im Allgemeinen gilt dann
$
	m_(n) dot.double(x)_(n) =  F_(n) +  sum_(alpha = 1)^(R) lambda_(alpha) (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) )  , space n =  1, ..., 3 N \
	g_(alpha)  (arrow(x), t) =  0 , space alpha 1, ..., R \
	arrow(nabla) _(n) g_(alpha)  =  (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) ).
$

=== Allgemeines Loesungsverfahren
1. Zwangsbedingungen aufstellen
2. Lagrangegleichung I
3. Man muss die $lambda_(alpha) $ aus den BWGL eleminieren $==>$ $lambda_(alpha)  =  lambda_(alpha) (arrow(x), dot(arrow(x)), t) $: funktional
4. Loese die 3N BWGL mit 6N Integrationskonstanten
5. Die 2R Integrationskonstanten sind schon durch die Zwangsbedingungen fixiert
6. Die konrete Loesung $==>$ $arrow(x), dot(arrow(x)) -> lambda_(alpha) (arrow(x), dot(arrow(x)), t) $ $==>$ $Z_(n) =  lambda_(alpha) partial_(x_(n) ) g_(alpha)  $

#example[
	Schiefe Ebene.

	Skizze der Schiefen Ebene mit relevanten Groessen.

	Zuerst die elementare Loesung
	$
		m dot.double(s) =  - m g sin alpha => s (t) =  - g/2 r^2 + v_0 t +  s_0 \
		arrow(r) =  vec(s cos alpha, 0 , s sin alpha).
	$
	Lagrange I liefert
	$
		g_(2) (x,y,z,t) =  y =  0 \
		g_(1) (x,y,z,t) =  x sin alpha -  z cos alpha =  0 \
		m dot.double(arrow(r)) =  - m g arrow(e)_(z) +  lambda_(1) arrow(nabla) g_(1)   +  lambda_(2) arrow(nabla) g_(2).
	$

	Dann muessen wir die (zweimal) Zwangsbedingungen ableiten
	$
		dot.double(y) =  0 , space dot.double(x) sin alpha - dot.double(z) cos alpha =  0 \
		m dot.double(x) =  lambda_1 sin alpha \
		m dot.double(y) =  lambda_2 => lambda_2 = 0 => dot.double(z) =  arrow(0) \
		m dot.double(z) =  - m g - lambda_1 cos alpha => lambda_1 =  - cos alpha m g
	$
]

Technisch kompliziert kann die richtige Beruecksichtigung der Kettenregel sein.