// Diff template
#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(num: 4)

= Wiederholung

Im $RR^n $ mit $p >= 1$ gilt $norm(x)_(p) = (sum_(i=1)^(n) abs(x_i )^(p)   )^(1/p) $.

Dabei ist $(RR^n , norm(dot)_(p) )$ ein Banachraum. Ein Spezialfall fuer $p=2$ ist das Skalarprodukt.

Q: Erzeugt ein Skalarprodukt immer eine Norm?

= Hilbertraeume

Zur Erinnerung fuer einen Vektorraum $V$ ist ein K-VR mit Skalarprodukt $angle.l dot \, dot angle.r$ und $norm(dot):= sqrt(angle.l dot \, dot angle.r)$, dann gilt:
$
	abs(angle.l x \, y angle.r) <= norm(x)dot norm(y) space forall x,y in V.
$

#lemma[
	Sei V ein K-VR mit $K in {RR,CC}$ mit Skalarprodukt $angle.l dot\,dot angle.r$. Dann definiert $norm(x)= sqrt(angle.l x\,x angle.r) , space x in V$ eine Norm auf V.
] <norm1>

#proof[
	Dreiecksungleichung anwenden.
	$
		norm(x+y)^2 = angle.l x+y \, x+y angle.r =  angle.l x \, x angle.r + angle.l  x \,  y angle.r + angle.l y \, x angle.r +  angle.l y \, y angle.r
	$
]

#definition[
	 Sei V ein K-Vr mit $K in {RR,CC}$ mit Skalarprodukt $angle.l dot \, dot angle.r$. Wir nennen V einen *Hilbertraum* falls V unter der erzeugten Norm $norm(x)= sqrt(angle.l x \, x angle.r) , space x in V$, vollstaendig ist.
]

#example[
	$RR^n $ mit dem Standardskalarprodukt ist ein Hilbertraum.
]

Ein weiteres Beispiel ist der Folgenraum $l^2 $.

Sei $l^2 := {a = (a_n )_(n in NN): a_n in CC space forall n in NN, sum_(i=1)^(oo) abs(a_n )^2 < oo  }$.\
Fuer $a in l^2 $ definiere 
$
	norm(a)_(2) =  (sum_(n=1)^(oo) abs(a_n )^2 )^(1/2).
$
Sind $a,b in l^2 , space N in NN$, so gilt
$
	sum_(i=0)^(oo) abs(a_n macron(b_n )) <=^("Cauchy-Schwarz") (sum_(i=0)^(oo) abs(a_n )^2 )^(1/2) (sum_(i=0)^(oo) abs(b_n )^2 )^(1/2) <=  norm(a)^(2) norm(b)^(2).
$
Also ist $angle.l a \, b angle.r = sum_(i=0)^(oo) a_n macron(b_n )$ absolut konvergent.

Behauptung: $l^2 $ ist ien C-VR, denn sind $a,b in l^2  , space lambda in CC$ so gilt
$
	sum_(i=0)^(oo) abs(a_n +  lambda b_n )^2 <=  sum_( )^(oo) (abs(a_n )^2 + 2 abs(a_n )abs(lambda b_n )+ abs(lambda b_n )^2  ) \
	<= norm(a)^2 +  2 abs(lambda)norm(a)norm(b)+ norm(b)^2 abs(lambda)^2 < oo.
$

T: $angle.l  dot \, dot angle.r$ definiert ein Skalarprodukt auf $l^2 $.

#theorem("hello")[
	$l^2 $ ist unter dem Skalarprodukt $angle.l a \, b angle.r =  sum_( )^(oo) a_n macron(b_n )$ ein Hilbertraum.
]
#proof[
	Sei $a^(k) =  (a_n ^(k) )_(n in N)$ eine Cauchy-Folge im $l^2 $. 
	Fuer $epsilon > 0$ wahle $N in NN$ sodass $norm(a^(k) - a^(l) )_(2) < epsilon space forall n, l <= N$. \
	Dann gilt fuer $k,l >= N , space n in NN$
	$
		abs(a_n ^(k) - a_n ^(l)   ) <= sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n ^(l) )^2 = norm(a^(k) - a^(l) ) < epsilon^2 .
	$
	Es folgt dass $(a_n ^(k) )_(n in NN) $ fuer jeder $n in NN$ eine Cauchy-Folge ist, sei $a_n =  lim_(k -> oo) a_n ^(k) in CC , space a =  (a_n )^(n in NN)  $.

	Betrachte $m in NN$ und $k,l >= NN$. Dann gilt
	$
		sum_(i=0)^(oo) abs(a_n^(k) - a_n ^(l)  ) ^2 < epsilon^2.
	$
	Im Grenzwert $l -> oo$ folgt $sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n )^2 < epsilon^2 space forall m in NN forall k >= N$. Im Grenzwert $m ->  oo$ folgt $sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n )^2  <= epsilon^2 space forall k >= N $, also $a^(k) - a in l^2 $ und damit $a in l^2 $. Aus der zweiten Ungleichung folgt ausserdem, dass $lim_(n -> oo) a^(n) =  a$ in $l^2 $.
]

Nun folgt eine Anwendung.

#definition[
	Sei X eine Menge, $(Y,d_(y) )$ eine vollstaendiger metrischer Raum und $f_n: X ->  Y , space n in NN$ eine FOlge von Abbildungen. Wir sagen, dass $(f_n )_(n in NN) $ gleichmaessig konvergent ist, falls gilt
	$
		forall epsilon > 0 exists N in NN forall x in X forall k,l >= N: d_(y)  (f_k (x), f_(l) (x)) < epsilon.
	$
]

+ Ist $(f_n )_(n in NN)$ gleichmaeig konvergent, so ist $(f_n (x))_(k in NN)$ fuer jedes  $x in X$ eine Cauchy-Folge, d.h. $exists f (x) := lim_(n -> oo) f_n (x) space forall x in X $.
+ Ist $(f_n )_(n in NN) $ gleichmaessig konvergent mit $f (x) =  lim_(n -> oo) f_n (x) , space x in X$ so gibt es fuer jedes $epsilon>0$ ein $N in NN$ sodass $d_(y) (f (x), f_n (x))<epsilon space forall n >=  N forall x in X$.

#proof[
	Bilde den Grenzwert $k ->  oo$ in der Definition einer gleichmaessig konvergenten Folge von Abbildungen und verwende
	$
		lim_(n -> oo) d_(y) (f_n (x), f_(l) (x))= d_(y) (lim_(n -> oo) f_n (x), f_(l) (x)).
	$
	Dabei wird benutzt, dass
	$
		abs(d (x_k ,y)- d (y,y)) <= d (x_k x).
	$
]

#example[
	Sei $P (z) =  sum_( )^(oo) a_n z^(m) $ eine Potenzreihe mit $a_n in CC$, Konvergenzradius $r (P) >0$ und $0 < delta<r (P)$. So konvergiert die Funktionenfolge
	$
		P_n; B_(delta) -> CC
	$
	#highlight[TODO: finish on why this series converges]
]

Q: Sei $A in M_(m times m) $. Koennen wir aehnlich $sum_(i=0)^(oo) a_i A^(i) $ definieren?

_PAUSE_

= Operatornorm

Wie kann man eine sinnvolle Norm fuer Matrizen $A in M_(n times m)$ (Operatoren) definieren?

Wie kann ich eine Konvergez fuer die lineare Abbildung $sum_(i=0)^(oo) a_i A^(i) $ definieren?

#definition[
	Seien $(V,norm(dot)_(V) ),(W,norm(dot)_(W) )$ normierte K-VR und eine lineare Abbildungen $A: V ->  W$ gegeben. Wir nennen A *beschraenkt*, falls es eine positiv reele Konstante $C$ gilt, sodass $norm(A x)_(W) <= C norm(x)_(V) space forall x in V $. \
	Ist A beschraenkt, so defninieren wir die *Operatornorm* von A durch
	$
		norm(A) := sup_(x in V \ x != 0)  (norm(A x)_(W) ) / (norm(x)_(V) ).
	$
]

#example[
	Betrachte $A = mat(
		3, 0;
		0, 2;
	)   $   als  lineare Abbildung $RR^2 ->  RR^2 $ mit $norm(dot)_(2) $ auf $RR^2 $. Dann gelten die Aussagen
	$
		norm(A x)_(2) =  sqrt((3 x_1 )^2 + (2 x_2 )^2 ) <= 3 norm((x_1 ,x_2 ))_(2) space forall x in RR^2 \
		norm(A e_1 )_(2) = norm((3,0))_(2) = 3 norm(e_1 )_(2),
	$also ist $norm(A) = 3$.
]

#remark[
	Eine lineare Abbildung $A: V -> W$ zwischen K-VR $V,W$ nenn wir auch linearen Operator.
]

#lemma[
	Seien $(V,norm(dot)_(V) ),(W,norm(dot)_(W) )$ normierte K-VR, $dim V < oo$ und $A: V ->  W$ eine lineare Abbildung. Dann ist A beschraenkt.
]

#proof[
	Die erste Intuition ist, dass durch die endliche Dimension und die Linearitaet die Aussage entsteht.

	Fuer $x in V$ sei $norm(x)= norm(x)_(V) +norm(A x)_(W) $. Dann ist $norm(dot): V ->  RR^(+) $ eine Norm auf V (Task).
	Nach Satz folgt, dass es ein $C>0$ gibt sodass
	$
		norm(x) <= C norm(x)_(V)  space forall x in V. \
		==> norm(A x)_(W)  <= C norm(x)_(V) space forall x in V.
	$

	Man kann den Beweis von den Aequivalenzen von Normen verwenden.
]

Ein Beispiel fuer einen unbeschraenkten lineare n Operator ist

Der Startraum ist hier $V = C^(1) ([0,1])$. Und der Endraum $W = CC$.\
Mit der verwendeten Norm $norm(f)= sup_(t in [0,1]) abs(f (t))$.

Nun ist die Abbildung $A: V ->  W$ gegeben durch $A f := f'(0)$. Dann ist A nicht beschraenkt, da Oszillierende Funktionen wie $sin (n x)$. Denn $norm(f_n ) <= 1$ aber $abs(f'_(n) (0))= n$.

#remark[
	Ist $A: V -> W$ ein beschraenkter, linearer Operator, so gilt fuer $x,y in V$:
	$
		d_(W) (A x,A y) = norm(A x - A y)_(W)  =  norm(A (x - y))_(W)  <= norm(A) norm(x - y)_(V) = norm(A) dot d_(V) (x,y).
	$
]

#definition[
	Seien $(X,d_(x) )$ und $(Y,d_(y) )$ metrische Raeume und $f: X -> Y$ eine Abbildung. Wir nennen $f$ Lipschitz-stetig falls es ein $L >=0 $ gibt sodass
	$
		d_(y)  (f (y_1 ), f (y_2 )) <= L d_(x) (y_1, y_2 ) space forall y_1, y_2 in X.
	$
]

#theorem[
	Sei $A: V -> W$ ein linearer Operator zwischen normierten Raeumen $W,V$. Dann sind die folgenden Aussagen aequivalent:
	+ A ist beschraenkt
	+ A ist stetig
	+ A ist stetig an der Stelle $x = 0$ $==>$ A ist beschraenkt
]

#proof[
	Sei A stetig in $x = 0$. Wegen $A dot 0 = 0$ gibt es ein $delta > 0$ sodass $norm(A x)_(W) <= 1$ fuer alle $x in V "mit" norm(x)_(V)  <=  delta$. Sei $x in V \\ {0}$. Dann ist $norm((delta) / (norm(x)_(V) ) )_(V) = delta$
	und damit $1 >= norm(A (delta) / (norm(x)_(V) ) x_(W) )=  norm((delta) / (norm(x)_(V) ) A x )_(W) =  (delta) / (norm(x)_(V)  ) norm(A x)_(W) $.

	Es folgt $norm(A x)_(W)  <= (1) / (delta)norm(x)_(V) space forall x in V $ und A ist beschraenkt.
	
]