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#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(
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	num: 3
)

= Weiter ODE

Durch Hilfsvariablen koennen DGL in eine Form von erster Ordnung gebracht werden
$
	dot(arrow(y)) (t)= arrow(F) (arrow(y),t).
$
Diese kann dann durch das Euler-Verfahren oder durch das "Middlestep"-Verfahren geloest werden. #highlight[TODO: what is the middlestep for differential equations?]

In der klassischen Mechanik gilt
$
	dot(z)= vec(dot(q),dot(p))= vec((partial HH) / (partial p),- (partial HH) / (partial q)  ) = J arrow(nabla)_(z) HH "mit" J =^("symplektisch")  mat(
		0, 11;
		-11, 0;
	).
$

Symplektisch hat etwas mit Phasenraumerhaltung zu tun. Das bedeuete, dass die Flaeche von Gebieten im Phasenraum unter einer Propagation entlang einer Funktion erhalten bleibt.

$
	v = integral d z (0) = integral d z (t) abs((partial z (0)) / (partial z (t)) )
$

Flaechenerhaltend bedeutet, dass $abs((partial z (t)) / (partial z (0)) )= 1$ gilt. Die Determinante ist also gleich Eins.
Zum expliziten Ausrechenen gilt
$
	abs((partial z (t)) / (partial z (0)) )=  abs(1 + (partial dot(z) (0)) / (partial z (0))t + O (t^2 ) ) =  1 + tr (A) t + O (t^2 ) \
	det e^(A t) = e ^(tr(A) t) 
$

$
	tr (A) =  tr (dot(z) (0)) / (z (0)) =  sum_(i)^(N) partial / (partial z_i ) dot(z)_(i)  = sum partial / (partial z_i ) sum J_(i k)  (partial^2  HH) / ( partial z_i  partial z_k)  = 0
$

$
	dot(z)= vec(dot(q),dot(p)) =  vec(+(partial HH) / (partial p),- (partial HH) / (partial q)  ) = i L z \
	i L =  dot(q) partial / (partial q) + dot(p)partial / (partial p) \
	= (partial HH) / (partial p) partial / (partial q) - (partial HH) / (partial q) partial / (partial p) \
==> (dif 0) / (dif t) = i L 0 = {HH,0} \ ==> z (t) =  e^(i L t) z (0) "ist die formale Loesung"
$

Das Problem ist, dass die $p$ und $q$ Komponenten nicht kommutieren. Daher ist eine Diskretisierung der Zeitentwicklung notwendig.

Der Velocity-Verlet Algorithmus ist
$
	e ^(i L Delta t) approx e^(i L_(p)  (Delta t)/2) e^(i L_(q)  (Delta t)/2) e^(i L_(p)  (Delta t)/2)  + O(Delta t^2 )\
z (Delta t) = 	e^(i L_(p)  (Delta t)/2) e^(i L_(q)  (Delta t)/2) e^(i L_(p)  (Delta t)/2)   (0).
$

Die Phasenraumerhaltung ist ein Mass fuer die Stabilitaet des Algorithmus.