= Arbeit, Leistung, Energie

Arbeit ist ein Skalarprodukt von der Kraft und dem Weg.

Leistung ist die Ableitung der Arbeit nach der Zeit.

Energie ist eigentlich das Gleiche wie die Arbeit.

Beispiele: Flaschenzug, Schraege Rampe

== Wegunabhaengige Arbeit und konservative Kraftfelder

- Falls $W_a = W_b$ fuer beliebige Wege $a, b$, ist das Weg-Integral *wegunabhaengig* und das Kraftfeld *konservativ*.

aequivalent dazu sind folgende Aussagen:

- $integral.cont arrow(F) d arrow(r) = 0$

== Einschub: der Nabla-Operator $nabla$

$ nabla = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $

partielle Ableitung

+ *Gradient* (Anwendung auf ein Skalar)
  $ nabla f = op("grad") f = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
  Der Gradient gibt die Richtung der groessten Aenderung von $f$ an

  // Insert here a 2d graphic of Heightlines with
  // a perpendicular gradient vector on them in red

  der Gradient steht senkrecht auf den Hoehenlinien und ist tangential an der Falllinie.

+ *Divergenz* (Skalarprodukt mit einem Vektor) $arrow(u) = {u_x, u_y, u_z}$
  $ nabla dot arrow(u) = "div" arrow(u) = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $

  anschaulich: Quellen und Senken eines Vektorfeldes

+ *Rotationen* (Vektorprodukt mit einem Vektor)
  $ nabla times arrow(u) = "rot" arrow(u) $ (siehe oben)

  anschaulich: Wirbel im Stroemungsfeld

+ *Kombinationen* $"div grad" f = nabla (nabla f) = Delta f$ (Laplace)
  $= (delta^2 f)/(delta x^2), (delta^2 f)/(delta y^2), (delta^2 f)/(delta z^2)$


Energie = gespeicherte Arbeit $[E] = J$

$=$ die Faehigkeit, Arbeit zu verrichten

Beispiel: Hubarbeit $m dot g dot h arrow$ potientielle Energie $m dot g dot h arrow "loslassen" arrow "kinetische Energie" 1/2 m v^2$

== Der Energie-Erhaltungs-Satz (EES)

2. Newtonsches Gesetz: $arrow(F) = m (d arrow(v))/(d t)$

  $ integral arrow(F) dot arrow(v) d t = m integral (d arrow(v))/(d t) arrow(v) d t$

  $I = integral arrow(F) dot arrow(v) d t = integral arrow(F) d arrow(r) = E_p^1 - E_p^2$ (Arbeit, potientielle Energie)

  $II = m integral arrow(v) d arrow(r) = m/2 v^2_2 = m/2 v_1^2 = E_("kin")^2 - E_("kin")^1$

  $ --> E_("kin")^1 + E_p^1 = E_("kin")^2 + E_p^2$ (EES der Mechanik)

  Beschleunigungsarbiet (2.NG) wird als Zuwachs kinetischer Energie gespeichert.

- Energie wird nicht "erzeugt" oder "verbraucht"
- Energieformen werden ineinander umgewandelt

Beispiel: Pendel

// Skizze einfuegen

1. $v = 0 arrow E_("kin") = 0, h = h_("max") arrow E_("pot") = m g h_("max")$

2. $v = v_("max") arrow E_("kin") = 1/2 m v_("max")^2, h = 0 arrow E_("pot") = 0$

3. Siehe 1

= Kraftfelder und Potential

Wir nehmen ein konservatives Kraftfeld an und gehen von Punkt $P$ um $delta arrow(r)$ zu Punkt $P'$

// Skizze von verschiedenen Wegen von Punkt P zu P' in 2D und der Steitung dy
// Vektoren fuer die Kraefte sind eingezeichnet

es aendert sich die potientielle Energie $E_p (x, y, z) = E_p (P)$ um $delta E_p = (delta E_p)/(delta x) delta x + (delta E_p)/(delta y) delta y + (delta E_p)/(delta z) delta z$

da wir eine Strecke in einem Kraftfeld zuruecklegen, verrichten wir Arbeit $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ (gespeichert als potientielle Energie)

--> $F_x delta x + F_y delta y + F_z delta z =^"von oben" - (delta E_p)/(delta x) delta x - (delta E_p)/(delta y) delta y - (delta E_p)/(delta z) delta z$

daher $F_x = - (delta E_p)/(delta x) delta x F_y = - (delta E_p)/(delta y) delta y F_z = - (delta E_p)/(delta z) delta z$

$arrow(F) = - "grad" E_p = - nabla E_p$

Nachtrag: Es existiert ein Skalarfeld DURCHSCHNITT $(arrow(r))$ (Potential), sodass $arrow(F) = - k nabla o (arrow(r))$

($<--> arrow(F)(arrow(r))$ ist ein konservatives Kraftfeld)



== Drehimpuls und Drehmoment

MP mit Impuls $arrow(p)$ auf Bahn $arrow(r) (t)$

Definition: $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p) = m (arrow(r) times arrow(v))$ Drehimpuls

wichtig: immer in Bezug auf den Koordinatenursprung $O$.

wir zerlegen $arrow(v) "in" arrow(v)_r || arrow(r)$ und $arrow(v)_phi "senkrecht" r$ (Polarkoordinaten)

$ --> arrow(L) = m [ arrow(r) times (arrow(v)_r + arrow(v)_phi)] = m arrow(r) times arrow(v)_phi$

$abs(arrow(L)) = m r omega r sin(90 degree) = m r^2 dot(phi)$

$dot(arrow(L)) = (d arrow(L))/(d t) = [(d arrow(r))/(d t) times arrow(p)] + [arrow(r) times (d arrow(p))/(d t)]$

$= arrow(v) times arrow(p) + arrow(r) times dot(arrow(p)) = arrow(r) times arrow(F)$


Definition: $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$ (Drehmoment)

=== Analogie

#table(
  columns: 2,
  [Translation], [Rotation],
  [Impuls $arrow(p)$], [Drehimpuls $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p)$],
  [Kraft $arrow(F) = dot(arrow(p))$], [Drehmoment $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$],
  [1. NG $arrow(p) = "const" <--> arrow(F) = 0$], [$arrow(L) "const" <--> arrow(D) = 0$],
  [Position $arrow(r)$], [Winkel $phi$],
  [Geschwindigkeit $arrow(v) = dot(arrow(r))$], [Winkelgeschwindigkeit $arrow(omega) = dot(phi) arrow(e)_z$],
)

Beispiel: Zentralkraftfelder $arrow(F) = f(r) arrow(e)_r$

$ arrow(D) = f(r) arrow(r) times arrow(e)_r = 0 = dot(arrow(L))$

$ --> arrow(L) = "const"$