#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(num: 3)

= Klassen von Raeumen

In metrischen Raeumen mit Metrik $d$ gibt es den Begriff von offenen Mengen, wodurch dann auch eine Topologie $tau_(d) : "alle Mengen, die unter" d "offen sind"$ gegeben ist.
Diese Topologie ist eine Familie von Mengen.

= Konvergenz mittels Topologien
Fuer Konvergenzbegriffe ist dann einzig $tau$ notwendig.
#lemma[
	Sei $(M,d)$ ein metrischer Raum, und $(a_n )_(n in NN)$ eine Folge in $M$  und $a in M$. Dann gilt $lim_(n -> oo) a_n = a$ genau dann wenn golgendes gilt:
	$
		forall U in tau_(d): a in U: exists n in NN: forall n >=  n: a_n in U
	$
]

#definition[
	Sei $M$  ein metrischer Raum mit Metriken $d_1 "und" d_2 $.
	Wir nennen $d_1 $und $d_2 $ aequivalent falls $tau_(d_1 ) = tau_(d_2 ) $.
	Ist $V$ ein K-VR mit $K in {RR,CC}$ mit zwei Normen $norm(dot)$ und $norm(dot)^(star) $ so nennen wir diese aequivalent, falls die erzeugten Metriken aequivalent sind.
]

#lemma[
	Sei $V$  ein K-VR, $K in {RR,CC}$ und $norm(dot),norm(dot)^star, V -> RR^(+) $ Normen auf $V$ . Dann sind $norm(dot) "und" norm(dot)^(star) $ aequivalent genau dann wenn es Konstanten $c_1, c_2 >0$ gibt sodass
	$
		C_1 norm(x) <= norm(x)^(star) <= c_2 norm(x), forall x in V.
	$
]

#proof[
	Seien $tau_(1) "und" tau_(2) $ die von den Normen $(1) "und" (2)$ erzeugten Topologien. Sei $U in tau_(2) $. Nun gilt es zu zeigen, dass $U in tau_(1)  $. Sei $x in U$. Dann gibt es ein $r >0$ sodass $K_(r) ^((2)) (x) subset.eq U $.
	Wir erhalten, dass gilt

	$
		B_(c_(2) ^((1)) ) (x)={y in V | norm(x-y)<c_(2) ^(-1) r} subset.eq B_(r) ^((2)) (x) subset.eq U
	$

	Verwende #highlight[TODO: finish this proof]

	Fuer die Rueckrichtung nehmen wir an, dass $tau_(1) = tau_(2)  $. Da $B_(1) ^((1)) in tau_((1)) "und" 0 in B_(1) ^((1)) (0) $ gibt es $r>0$ sodass $B_(r) ^((2))  <= B_(1) ^((1)) (0)$.
	Sei $x in V \\ {0}$. Dann ist $1+1$

]

#example[
	Betrachte $norm(dot)_(1) "und" norm(dot)_(oo) $ auf $RR^n$. Fuer $x in RR^n$ gilt $norm(x)_(oo) = max_(1 <= k <= n) abs(x_(k)) <= sum_(k=1)^(n) abs(x_k )= norm(x)_(1) $ und $norm(x)_(1)= sum_(k=1)^(n) abs(x_k )<= n max_(1 <= k <= n)   abs(x_k ) = n norm(x)_(oo)  $, also sind $norm(dot)_(1) "und" norm(dot)_(oo) $ aequivalent.
]

#theorem[
	Je zwei Normen auf $RR^n$ sind aequivalent.
]

Hier bezeichnet $e_(n) $ den Einheitsvektor in Richtung $n$.

#proof[
	Sei die Euklidische Norm als $(1)$ fix. Ferner sei $(2)$ eine beliebige weitere Norm auf $RR^n$.
	Sei $x in RR^n$. Dann ist
	$
		norm(x)= norm(sum_(i=0)^(n) x_i e_i ) <=  sum_(i=0)^(n) abs(1+1) norm(e_i ) <= sqrt(sum_(i=0)^(n) abs(x_i  )) sqrt(sum_(i=0)^(n) norm(e_i )^2 )
	$
	Sei $S^(n-1) := {x in RR^(n)  | norm(x)_(2) =1}$ und $c := inf {norm(x) | x in S^(n-1) }$. Behauptung: es gilt $c>0$.

	Angenommen $c=0$. Waehle $x_l in S^(n-1) , l in NN $ mit $lim_(l -> oo) norm(x_l )=0$.

	#highlight[TODO: finish this proof]
]

= Stetige Abbildungen und normierte Raeume

Wir nennen einen Metrischen Raum vollstaendig, falls jede Cauchy-Folge in $M$  einen Grenzwert in $M$ hat.

#example[
	- $RR^(n) "ist vollstaendig"$
	- $QQ^(n) "ist nicht vollstaendig"$, da die Folge gegen $sqrt(2)$ keinen Grenzwert in $QQ$ hat
	- abgeschlossene Teilmengen des $RR^n$ sind vollstaendig (Q: Folgt dies aus Punkt eins?)
]

#definition[
	Sei $K in {RR,QQ}$ und $V$ ein normierter Vektroraum. Wir nennen $V$  Banachraum, falls $V$ vollstaendig ist.
]

#example[
	- $(RR^(n) , norm(dot)_(p) )$ ist fuer jedes $p >= 1$ ein Banachraum (Q: Warum nicht fuer $p = 1/2$?)
	- Fuer $[a,b]subset.eq RR$ betrachte den Raum der stetigen Funktionen $C ([a,b]) = {f: [a,b]-> RR | f "ist stetig"}$ mit den Normen $norm(f)_(C ([a,b])) := sup_(t in [a,b]) abs(f (t)) $
	#highlight[TODO: Show that C([a,b]) is complete]
]

#lemma[
	Sei $V$ ein K-VR mit Skalarprodukt, $K in {CC,RR}$ und $norm(x):= sqrt(angle.l dot\,dot angle.r)$
]