#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(num: 3)

= Uebersicht

- Team Captains
- Skript! Mitschreiben?
- Hoersaaluebung
- 2. Klausur im WiSe 2025
- Fragen?

= Eindimensionale Systeme allgemein

Einen Massepunkt mit Masse $m$  und Koordinate $q$ 

Beispiele:
+ Bewegung entlang einer kartesicschen Koordinate $q=x$
+ Feste (krummlinige) Kurve im $RR^(3) $ Koordinate i.a. nicht kartesisch
+ Problem als Resultat des Ausnutzens von erhaltungsgroessen (z.B. Zentralpotential, Hamiltonformalismus)

Formal:
$
	m dot.double(x)=f (x,dot(x),t),x (t_(0) ),dot(x) (t_(0) )
$

= Zeitunabhaengige Probleme

$f=f (x)$

$arrow(f) "ist konservativ" ==> exists V (arrow(r))==> arrow(f) (arrow(r)) = - arrow(nabla) V (arrow(r)) ==> E=T+V "(Energieerhaltung)"$

$
	V (x) =- integral_(x)^(x_0 ) d x' f (x')
$

dieses $V$ existiert fuer stetige $f$. Im eindimensionalen Fall gilt dann 
$
	f (x)=-V' (x).
$

$
	==> E=T (dot(x))+V (x) "erhalten"\
	(dif E) / (dif f) =0, forall t
$

= Konsequenzen aus Energieerhaltung

Reduktion von DGL 2. Ordnung auf DGL 1. Ordnung ist der wichtigste Punkt dieser Vorlesung.

Sei $E$ fest aber beliebig vorgegeben. Dann wissen wissen wir

$
	E=m/2 dot(x)^2 +V (x)\
	==> dot(x)^2 = 2/m (E-V (x))
$

was eine DGL 1. Ordnung darstellt.
Aus der Definition der kinetischen Energie folgern wir die Ungleichung
$
	E >= V (x).
$
es sind also nur diese $x$ erlaubt!
Die oben stehende DGL kann mittels TdV geloest werden

$
	(dif x) / (dif t) = +- sqrt(2/m (E-V (x)))\
	==>  integral_(t)^(t_0 ) d t' = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (2/m (E-V (x')))^(-1/2) \
	==> t-t_0 = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (2/m (E-V (x')))^(-1/2) 
$

== Integrationskonstanten

Seien die Gesamtenergie $E$, $t_0 $ und die Startposition $x_0=x (t_0 )$ gegeben.
Folgern von allgemeinen Aussagen ohne Rechnen
+ $E=V (x_u ) <==>  T = 0$ in dem Umkehrpunkt $x_u $
+ Natuerlich gilt $T(E,V)=E-V$
+ Verbotene Bereiche sind $x "mit" E < V (x)$, welche sich in einem $V$-$x$-Diagramm so erkannt werden koennen, dass 
+ Offene Bahnen bedeutet, dass $abs(x) "unbeschraenkt"$ dies ist der Bereich unter der $E$ -Kurve, so dass sie im weiteren Verlauf keinen Schnittpunkt mehr mit dieser hat
+ Geschlossene Bahnen, diese sind das Gegenstueck zu den offenen Bahnen und sind periodisch wodurch sie zu Oszillatoren werden

= Periodische Bahnen

Fuer kleine Schwingungen entwickle $V (x)$ um $x_0 $ (Position des Minimums)
$
	v (x)= v (x_0 )+1/2 V'' (x_0 ) (x-x_0 )^2 +1/6 V''' (x_0 ) (x-x_0 )^3 +1/24 V'''' (x_0 ) (x-x_0 )^(4) + ...
$

Fuer kleine Amplituden sind die letzten Terme zu vernachlaessigen, da $O((x-x_0)^3 )$.

$
	V (x)=V (delta_(x)  )+1/2 V'' (x_0 )delta_(x) ^2 \
	m dot.double(delta)_(n) =m dot.double(x)=-V' (x)=-V'' (x_0 )delta_(x) \
	delta_(x) =x-x_0 ==> dot.double(delta)_(x) =dot.double(x)\
	==> m delta_(x) +V'' (x_0 )delta_(x) = 0, omega^2 _(0) = (V'' (x_0 )) / (m) 
$

Periode allgemeine (beliebige Amplidtuden) geschlossene ahn, Umkehrpunkte $x_(3) ,x_(2) $

$
	t=T,x=x_2 ,x_0 = x_3 ,t_0 = 0, x_0 = x_3 
$

$
	t-t_0 = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (1) / (sqrt(2/m (E-V (x)))) 	\
	==> T=2 integral_(x_2 )^(x_3 ) d x (1) / (sqrt(2/m (E-V (x)))) 
$

+ $
		V (x)=1/2k x^2 
		==> T=(2 pi) / (omega_0 ) , omega_(0) =k/m\
		==> omega_0 != omega_0 (a)
	$

+ Anharmonischer Fall
	$
		==> omega=omega (a)
	$
$
	V (x)approx  k/2 x^2 +epsilon V_1 (x)+ "weitere Korrekturterme"
$

Dann wird dieser Ausdruck fuer das Potential in den fuer die Peiode eingesetzt

$
	==> T = T_0 epsilon^(0) +I_1 epsilon +I_2 epsilon^2 + O(epsilon^3).
$

Das Ziel ist dann $I_1 $ zu berechnen.

$
	[E-V (x)]^(-1/2) = [E-k/2x^2 -epsilon V_1 (x)]^(-1/2) \
	E=V (a)= [k/2 (a^2 -x^2 )-epsilon (V_1 (x)-V_1 (a))]^(-1/2) \
	= [k/2 (a^2 -x^2 )]^(-1/2) [1-epsilon A]^(-1/2) 
$

$
	A=(V_1 (x)-V_1 (a)) / (k/2 (-x^2 +a^2 )) \
	(1-u)^(-1/2) approx 1 +1/2 u, "fuer" u "klein"
$

#highlight[TODO: refactor the calculations]