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)

= Uebersicht

E: 26.05.2025

= Wiederholung

Die Hoersaaluebung am 30.5. findet statt.

Naechste Vorlesung VL12 werden die Erhaltungssaetze in Lagrange I und II diskutiert.

Die letzten HA beinhalten nicht alle Themen der Klausur.

Es wird mehr Bonuspunkt geben.

In Lagrange I wird mehr geloest als benoetigt wird.

= Mechanische Systeme mit Zwangsbedingungen 

Einmal mit N MP in 3D. Hier gibt es dann R ZB der Form
$
	g_(alpha) =  (arrow(x), t) =  0 , space alpha =  1, ..., R , space arrow(x) in RR^(3 N) .
$

Die BWGL in Lagrange I lauten dann
$
	m_(n) dot.double(x)_(n) =  F_(n) +  sum_(alpha =  1)^(R) lambda_(alpha)  arrow(nabla) g_(alpha) (arrow(x), t).
$
Hier sind dann noch 3N Gleichungen zu bestimmen und die R $lambda$ mit dem $arrow(x)$.

Die Zahl der unabhaengigen Koordinaten ist
$
	f =  3 N - R.
$

Dieses Problem mit Zwangsbedingungen wird als ein Problem mit Nebenbedingungen bezeichnet.

= Generalisierte Koordinaten

Die Generaliserten Koordinaten haben die Form und Eigenschaft

$
	q_(k), space k =  1,...f , space x_(n) =  x_(n) (q, t), \
	q =  {q_1, q_2, ..., q_(f) }.
$

Es gilt dann fuer alle Werte von $q_(k) $ und fuer alle Zeiten
$
	g_(alpha) (x(q_1, ...,q_(f) ), t) = 0.
$

#example[
	Fuer einen MP auf einer Kugeloberflaeche gilt
	$
		x_(1) ^2 + y_(1) ^2 +  z_(1) ^2 - R^2 = 0.
	$
	Hier gibt es dann die generaliserten Koordinaten
	$
		theta "und" phi.
	$
]

#example[
	Das Doppelpendel.

	Hier ist eine Skizze des Pendels in kartesischen Koordinaten. 

	Wir sind in der Ebene $==>$ Es gibt 4 kartesischen Koordinaten..

	Die Zwangsbedingungen sind dann
	$
		x_(1) ^2 + y_(1) ^2- l^2 = 0 , space abs(arrow(r_(1) ))= l_(1)  \
		(x_(1) - x_(2) )^2 +  (y_(1) - y_(2) )^2 - l_(2) ^2 = 0 , space abs(arrow(r)_(1) - arrow(r)_(2)  ) =  l_(2).
	$
	Die Generalisierten Koordinaten sind dann die Winkel
	$
		phi_(1) "und" phi_(2) 
	$
	mit den Trafos
	$
		x_(1) =  l_(1) sin phi_(1) \
		y_(1) =  - l_(1) cos phi_(1) \
		x_(2)  = x_(1) +  l_(2) sin phi_(2) \
		y_(2) = - l_(1) cos phi_(1)  - l_(2) cos phi_(2).
	$
]

= Elimieren der Zwangskraefte

Es gibt hier $f$ BWGL fuer $q_(k) $.

Lagrange II folgt
$
	dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) = 0 , space L =  T - V.
$
Als Ansatz gilt dass die $g_(alpha) $ nicht varrieren bei Varriation von $q_k $!

Es gilt so
$
	forall q_(k): (partial g_(alpha) ) / (partial q_(k) ) =  0 =>^("Kettenregel")  sum_(n = 1)^(3 N) (partial g_(alpha) ) / (partial x_(n) ) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) = 0 space forall k =  1, ... ,f.
$

Fixiere $q_(k) $ dann multipliziere alle 3N Gleichungen mit $(partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) $ und dann bilde die Summe
ueber alle 3N Lagrange I Gleichungen.

Es gibt hier $f$ Moeglichkeiten $==>$ $f$ Gleichungen.

Dadurch folgt
$
	sum_(n) m_(n)  dot.double(x)_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) =  sum _(n) F_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) + underbrace( sum _(alpha)  lambda_(alpha)  sum _(n) (partial g_(alpha)  ) / (partial x_(n) ) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ), = 0).
$
So entstehen $f$ Gleichungen.

Beispiel fuer die Notation
$
	h (q) &=  g (r (q)) \
	&= g (f (q_1 ), ..., f_(R) (q_(1) ) ).
$

= Generaliserte Geschwindigkeiten
Es gilt fuer die Geschwindigkeiten

$
	dot(q)_(k) =  (dif q_(k) ) / (dif t) , space k = 1, ..., f \
	x_(n) =  x_(n) (q,t) => ^(?) dot(x)_(n) = dot(x)_(n) (q, dot(q), t) \
	dot(x)_(n) =  dif / (dif t) x_(n) (q,t) = sum_(k = 1)^(f) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) dot(q)_(k) +  (partial x_(n) ) / (partial t)
	=> (partial dot(x)_(n) ) / (partial dot(q)_(k) ) = (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ).
$

Erinnerung 1MP
$
	T =  sum_(i=1)^(3) m/2 dot(x)_(i) ^2 = sum_(j, k = 1)^(3) m/2 g_(i k) dot(q)_(j) dot(q)_(k) , space g_(j k) =  arrow(g)_(j) * arrow(g)_(k).
$
Hier folgt dann
$
	T &=  sum_(i=1)^(3 N) m_(n) /2 dot(x)_(n) ^2 = sum_(i=1)^(3 N) m_(n) /2 (sum_(i=1)^(f) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) +  (partial x_(n) ) / (partial t) ) (sum_(i=1)^(f) (partial x_(n) ) / (partial q_(j) ) dot(q)_(j) +  (partial x_(n) ) / (partial t) ) \
	&=  sum_(k, j = 1)^(f) m_(k j) dot(q)_(k) dot(q)_(j) +  underbrace(sum_(k)^(f) b_(k) (q,t) dot(q)_(k) +  c (q,t), "nur wenn" (partial x_(n) ) / (partial t) != 0).
$
Hier steht dann insgesamt
$
	sum_(k, j) sum_(n)  (m_(n) /2 (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) (partial x_(n) ) / (partial q_(j) ) )dot(q)_(k) dot(q)_(j).
$

Ferner gilt
$
	g_(alpha) (arrow(x), t)= 0 \
	=> x_(n) =  x_(n) (q,t).
$
= Partielle Ableitungen von der kinetischen Energie

Schreibe
$
	T =  sum _(n) m_(n) /2 dot(x)_(n) ^2 = T (q, dot(q), t) \
	(partial T) / (partial q_(k) ) = sum _(n) m_(n) dot(x)_(n)  (partial dot(x)_(n) ) / (partial q_(k) ).
$
Betrachte nun
$
	(partial T) / (partial dot(q)_(k) ) =  sum _(n) m_(n) dot(x)_(n) (partial dot(x)_(n) ) / (partial dot(q)_(k) ) = sum _(n) m_(n) dot(x)_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) \
$
Nun die totale Zeitableitung
$
	dif / (dif t) (partial T) / (partial dot(q)_(k) ) = sum_n m_(n) dot.double(x)_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) +  sum _(n) m_(n) dot(x)_(n)  underbrace(dif / (dif t)(partial x_(n) ) / (partial q_(k) ), = (partial dot(x)_(n) ) / (partial q_(k) )  )
$

Der Faktor $1/2$ verschwindet hier durch die Kettenregel.

Zusammen ergibt das dann
$
	dif / (dif t) (partial T) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial T) / (partial q_(k) ) =  sum _(n) m_(n) dot.double(x)_(n) +  underbrace(sum _(n) m_(n) dot(x)_(n) (partial dot(x)_(n) ) / (partial q_(k) ) - sum _(n)  dot(x)_(n) (partial dot(x)_(n) ) / (partial q_(k) ), = 0) \
	= sum _(n) F_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) )  , space k = 1, ..., f.
$

#definition[
	Generalisierte Kraefte sind gegeben durch
	$
		Q_(k)  =  sum_(i=1)^(3 N) F_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) \
		=> dif / (dif t) (partial T) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial T) / (partial q_(k) ) = Q_(k) , space k = 1,...,f.
	$
]

Es gilt fuer konservative Kraefte mit $L =  L (q, dot(q), t)$
$
	F_(n) =  - (partial V) / (partial x_(n) ) => Q_(k) =  sum _(n) F_(n) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) =  - sum _(n) (partial V) / (partial x_(n) ) (partial x_(n) ) / (partial q_(k) ) =  - (partial V (q, t)) / (partial q_(k) ) \
	dif / (dif t) (partial (T-V)) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial (T-V)) / (partial q_(k) ) = 0 \
	 => dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) = 0 , space 1, ..., f.
$

Die Grundaufgabe ist herrauszufinden welche Aussagen ueber Lagrangefunktionen gemacht werden koenne.

#example[
	MP auf einer rotierenden Stange.

	Wir geben vor
	$
		arrow(omega) =  omega arrow(e)_(z) \
		=> phi =  omega t \
		f = 2 -1 = 1 \
		
	$
	Waehle generalisierte Koordinaten
	$
		r =  r (t) \
		x =  x (r, t) =  r cos (omega t) \
		y =  y (r, t) =  r sin (omega t)
			
	$
	Fuer die Lagrangefunktion ergib sich
	$
		V &=  0 => L =  T (r, dot(r), t) \
		T &=  m/2 (dot(x)^2 +  dot(y)^2 +  dot(z)^2 ) =  m/2 (dot(r)^2 +  omega^2 r^2  ) \
		&= m/2 (dot(r)^2 + dot(phi)^2 r^2 ).
	$ 
	Dann bilde die Ableitungen
	$
		(partial L) / (partial dot(r))  =  m dot(r) \
		(partial L) / (partial r) =  omega ^2 m r \
		=> m dot.double(r) -  omega^2 m r = 0.
	$
	Dadurch folgt fuer die Loesung
	$
		r (t) =  a e ^(omega t)  +  b e ^(- omega t).
	$
]