// Load the preamble
#import "../conf.typ": conf
#show: conf.with(week: "6")

#import "@preview/pavemat:0.1.0": pavemat

= Vektorraeume

+ Zeigen Sie, dass die Menge

  $ V := {x+y sqrt(2) | x, y in QQ} $

  mit der Addition auf $RR$ und der durch

  $ lambda dot (x + y sqrt(2)) := lambda x + lambda y sqrt(2) $

  definierten Multiplikation mit Skalaren zu einem Vektorraum ueber $QQ$ wird und bestimmen Sie die Dimension von $V$.

  Eigenschaften wie Distributivitaet und Assoziativitaet werden von $QQ$ vererbt.

  Seien $v, w in VV$ und $lambda in QQ$.

  $ v + w &= (a + b sqrt(2)) + (c + d sqrt(2)) \
  &= a + c + b sqrt(2) + d sqrt(2) \
  &= x + (b + d) sqrt(2) \
  &= x + y sqrt(2) in V $

  da $a+c in QQ$ ud $b+d in QQ$. 

  $ lambda dot v &= lambda dot (x + y sqrt(2))  \
  &= lambda x + lambda y sqrt(2) in QQ $

  da $lambda x in QQ$ und $lambda y in QQ$

  Da $1$ und $sqrt(2)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:

  $ dim(V) = 2 $

+ Zeigen Sie, dass $V$ mit der Multiplikation auf $RR$ ein Koerper ist.

  Es gilt zu zeigen:

  *Addition*:

  - Kommutative Addition

    _Wird vererbt_
  
  - Assoziative Addition

    _Wird vererbt_
  
  - Inverses der Addition

    Sei $v = a + b sqrt(2)$.

    $ v + v' = 0  => v' &= -v \ 
    &= -(a + b sqrt(2)) \
    &=^(#[@dist]) underline(underline(-a - b sqrt(2))) $
  
  - Neutrales der Addition

    Das Neutrale ist hier $0 + 0 sqrt(2)$.

  *Multiplikation*:
  
  - Kommutative Multiplikation

    _Wird vererbt_
  
  - Assoziative Multiplikation

    _Wird vererbt_
  
  - Inverses der Multiplikation
  
    Sei $v = a + b sqrt(2)$.

    $ v v' = 1 => v' &= 1/v \
    &= 1/(a + b sqrt(2)) =  (a - b sqrt(2))/((a + b sqrt(2))(a-b sqrt(2)))\
    &= (a - b sqrt(2))/(a^2 + 2 b^2) \
    &= underline(underline(underbrace(a/(a^2 + 2 b^2), c in QQ) - (b )/underbrace(a^2 + 2 b^2, d in QQ)sqrt(2))) $

  
  
  - Neutrales der Multiplikation

    Das Neutrale ist hier $1 + 0 sqrt(2)$.

  *Distributivitaet*:

  $ (x + y sqrt(2)) (z + u sqrt(2)) &= x z + 2y u + x u sqrt(2) + z y sqrt(2) \
  &= 2y u + x z +  (x u + z y)sqrt(2) \
  &= a + b sqrt(2)
  $ <dist>

  Wobei $a = 2y u + x z in QQ$ und $b = x u + z y in QQ$.

  $qed$

+ Sei $W$ der von $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ in $RR$ erzeugte $QQ$-Vektorraum. Bestimmen Sie die Dimension. Zeigen Sie, dass $W$ auch ein Vektorraum ueber dem Koerper $V$ aus Teil (b) ist. Bestimmen Sie wieder die Dimensionen.

  Unabhaengigkeit der Basen von $W$ zeigen:

  Es muss gelten (mit $a, b, c, d in QQ$ und $a b c d != 0$):

  $ a +  b sqrt(2) + c sqrt(3) + d sqrt(6) = 0 \
   b sqrt(2)  +  c sqrt(3) =  -1 dot (d sqrt(6) + a) \
   2 b^2  + 3 c^2 + 2 b c sqrt(6) =   6 d^2 + a^2 + 2 a d sqrt(6) \
    2 b c sqrt(6) - 2 a d sqrt(6) = - (2 b^2  + 3 c^2) + 6 d^2 + a^2  \
    sqrt(6) (2 b c - 2 a d ) =  6 d^2 + a^2 - (2 b^2  + 3 c^2) \
    sqrt(6) =  (6 d^2 + a^2 - (2 b^2  + 3 c^2))/(2 b c - 2 a d ) =: l \
  $ <lind>

  damit die Basen voneinander linear unabhaengig sind.

  Da $QQ$ ein Koerper ist, gilt $l in QQ$. Somit muss $sqrt(6) in QQ$ damit die Gleichung eine Loesung hat.

  Angenommen $sqrt(6) = p/q$, wobei $p, q$ teilerfremde positive natuerliche Zahlen sind.

  Die Quadratwurzel von 6 kann keine natuerliche Zahl sein, da $4 < 6 < 9 => 2 < sqrt(6) < 3$.

  $ sqrt(6) = p/q \
  6 q = p^2/q $

  wobei $6 q in NN$. Es gilt $p^2/q in.not NN$, da sie teilerfremd sind $arrow.zigzag$.

  Es folgt also $sqrt(6) in.not QQ$. Also kann @lind nicht geloest werden.

  Da so $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:

  $ dim(W_QQ) = 4 $

  Wenn wir nun $V$ als unseren Koerper betrachten, dann faellt direkt auf, dass $1 "und" sqrt(2)$ nicht mehr linear unabhaengig sind, da ($a + b sqrt(2), c + d sqrt(2) in V$):

  $ a + b sqrt(2) &= (c + d sqrt(2)) sqrt(2) \ 
   &= 2 d  + c sqrt(2) $

   Auch sind $sqrt(3), sqrt(6)$ voneinander linear abhaengig:

   $ sqrt(3)(a + b sqrt(2)) &= sqrt(6) (c + d sqrt(2)) \
     a sqrt(3) + b sqrt(6) &= 2 d sqrt(3) + c sqrt(6)  $

  Das gleiche laesst sich auch beim Einsetzen der Eigenschaften von $v in V$ und unter Betrachtung des ersten Teilergebnisses erkennen ($lambda_i in V$):

  $ lambda_1 + lambda_2 sqrt(2) + lambda_3 sqrt(3) + lambda_4 sqrt(6) \
  <==> undershell((a_1 + a_2 sqrt(2)) + (2 b_1 + b_2 sqrt(2)), #[lin. abh.]) + undershell((c_1 sqrt(3) + c_2 sqrt(6)) + ( 2 d_1 sqrt(3) + d_2 sqrt(6)), #[lin. abh.]) $

  Nach dem Selben Argument wie oben sind die beiden Bloecke, durch betrachten der jeweiligen Bassen, voneinander linear unabhaengig.

  Es folgt also:

  $ dim(W_V) = 2 $

= Gleichungssystem

Loesen Sie das folgende lineare Gleichungssystem

$ x+y &=-1 \
-x + y &= -1 \
x+y -z &= 0 $

sowohl ueber dem koerper $QQ$ als auch ueber dem Koerper $FF_3$.

Zuerst wird als Koerper $QQ$ angenommen.

Umformen in eine Matrix mit Loesungsspalte:


$ mat(1, 0, 1, -1; -1, 1, 0, -1; 1, 1, -1, 0; augment: #(-1)) $

Gaussverfahren anwenden:

#grid(columns: 4,
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 1, -2, 1; augment: #(-1)) $,
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
) 

Loesungsmatrix:

$ mat(1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $

Es folgt also: 

$ x &= 0 \
y &= -1 \
z &= -1 $

Definiere den Koerper $FF_3 = {0, 1, 2}$.

Betrachten Matrix (Welche mit dem Gaussverfahren bistimmt wurde):

$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,

Hier duerfen wir nicht durch 3 teilen, da $3 = 0$ in $FF_3$ gilt.

Also machen wir eine Fallunterscheidung fuer $z$:

Auch kann $z$ jeden Wert annehmen, da

$ -3 dot 0 = 0 \
 -3 dot 1 = 0 \
 - 3 dot 2 = 0 $

Fall 1: ($z = 0$)

Es muss gelten:

$ x = -1 = 2 \
 y = -2 = 1 $

Fall 2: ($z = 1$)

$ x + 1 = -1 = 2 => x = 1 \
 y + 1 = -2 = 1 => y = 0 $

Fall 3: ($z = 2$)

$ x + 2 = -1 = 2 => x = 0 \
 y + 2 = -2 = 1 => y = 2 $


Die Loesungsmenge ist hier also:

$ LL = {(0, 2, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 0)} $

= Matrix invertieren

Ist die Matrix $A in QQ^(4 times 4)$ mit $A = mat(1, 1, 0, 1; 0, 1, 0, 3; -1, 0, 1, 2; 0, 1, 1, 4)$ invertierbar?

Benutzen Sie nur die Hilfsmittel die einschliesslich der Vorlesung vom 29.1 zur Verfuegung stehen.

Bijektive Umformungen mit dem Gaussverfahren:

#grid(
  columns: 2,
  row-gutter: 10pt,
$ mat(1, 1, 0, 1;
      0, 1, 0, 3;
      -1, 0, 1, 2;
      0, 1, 1, 4) $,
$ mat(1, 1, 0, 1;
      0, 1, 0, 3;
      0, 1, 1, 3;
      0, 1, 1, 4) $,
$ mat(1, 1, 0, 1;
      0, 1, 0, 3;
      0, 0, 1, 0;
      0, 0, 1, 1) $,
$ mat(1, 1, 0, 1;
      0, 1, 0, 3;
      0, 0, 1, 0;
      0, 0, 0, 1) $,
$ mat(1, 1, 0, 1;
      0, 1, 0, 0;
      0, 0, 1, 0;
      0, 0, 0, 1) $,
$ mat(1, 0, 0, 0;
      0, 1, 0, 0;
      0, 0, 1, 0;
      0, 0, 0, 1) $,
    )

Da der $A$ eine $4 times 4$ Matrix ist und einen Rank von $4$ hat, ist $A$ invertierbar.
  
$qed$

= Polynome II

Sei $V_n := {f in K[X]: deg(f) <= n}$ die Menge der Polynome von Grad hoechstens $n$ ueber einem Koerper $K$.

+ Zeigen Sie, dass $V_n$ ein Untervektorraum der Dimension $n+1$ von $K[X]$ ist.

  Pruefen der Eigenschaften fuer einen Unterraum:

  Abgeschlossenheit unter Addition:

  Seien $f, g in V_n$, also $deg(f), deg(g) <= n$.

  Nun gilt:

  $ deg(f+g) = max({deg(f), deg(g)}) <= n ==> f+g in V_n $ 

  Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation:

  Fuer $c in K$ und $c != 0$, gilt:

  $ deg(c f ) = deg(f) ==> c f in V_n $

  Das Nullpolynom ist in $V_n$ enthalten, da
  
  $ deg(0) = 0 <= n, quad forall n in NN $

  Eine Basis von $V_n$ ist gegeben durch:

  $ B_(V_n) = {X^0, X^1, X^2, ... , X^n} $

  Diese Basis hat $n+1$ Elemenente, weshalb die gilt:

  $ dim(V_n) = n+1 $

+ Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung

  $ phi: V_n -> V_(n+2), quad f |-> (X^2 + 1)f $

  eine lineare Abbildung ist.

  Zuerst pruefen der ersten Eigenschaft:

  Seien $f, g in V_n$ und $lambda in K$.

  $ phi(f + g) &= (X^2 + 1)(f + g) \
   &= X^2 dot f + f + X^2 dot g + g \
   &= (X^2 + 1)f + (X^2 + 1)g \
   &= phi(f) + phi(g) $

  $ lambda dot phi(f) &= lambda dot (X^2 + 1) dot f \
  &= (X^2 + 1) dot lambda f \
  &= phi(lambda f) $

  $qed$

  Ein Polynom kann problemlos mit einem Skalar multipliziert werden.
  Auch ist die Multiplikation mit einem Anderen Polynom anderer Ordnung moeglich.


+ In allen $V_n$ sei die Basis $X^0, X^1, ..., X^n$ gegeben.
  Ist $f=a_n X^n + ... + a_0 X^0$ und $(X^2 + 1)f = b_(n+2) X^(n+2) + ... + b_0 X^0$, dann ist durch $phi_n$ 
  auch eine Abbildung $Phi_n: K^(n+1) -> K^(n+3)$ mit 

  $ (a_0, a_1, ..., a_n) |-> (b_0, b_1, ..., b_(n+2)) $

  gegeben. Zeigen Sie, dass $Phi_n$ linear ist und bestimmen Sie die zugehoerige Matrix.

  Sei $f,g in V^n$ und $lambda in K$.

  $ Phi(f+g) &= Phi(f) + Phi(g) $
  $ lambda dot Phi(f) &= Phi(lambda dot f) $

  nach dem selben Argument wie in Teil (b).

  Die zugehoerige Matrix sieht wie folgt aus:

  #{
  set text(size: 1.1em)

  pavemat(
    delim: "[",
  )[$ mat(1, 0, 0, 0, 0, ..., 0;
        0, 1, 0, 0, 0, ..., 0;
        1, 0, 1, 0, 0, ..., 0;
        0, 1, 0, 1, 0, ..., 0;
        0, 0, 1, 0, 1, ..., 0;
        dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.down, dots.down, 0;
        0, 0, 0, 0, 1, 0, 1;) $]
  }

  wobei sie $n+1$ Spalten und $n+3$ Reihen hat.