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)

= Uebersicht

E: 2.6.

Eine Funktion auf einer offenen Menge $U subset RR^n $ wird als diffbar in a bezeichnet falls
$
	exists L in L (V, W): f (a +  h) =  f (a) +  L h +  R (h) , space lim_(h -> oo) (R (h)) / (norm(h)) = 0.
$
Es gilt hier, dass $L = d f (a)$ und $f: U -> K^(m) $ mit $K in {RR, CC}$.

Es ist also f diffbar in a falls die Funktionen $f_1, ..., f_m $ diffbar in a  sind.

#definition[
	Richtungsableitung.

	Seien $V,W$ endlichdimensionale normierte Vektorraeume und $U subset V$ offen mit $a in U$ und $f: U -> W$ in a diffbar.

	Fuer $h in V$ definieren wir die Ableitungen von f in Richtung h im Punkt a durch
	$
		partial_(h) f (a) =  lim_(t -> 0) (f (a +  t h) -  f (a))/t.
	$
	Im Fall von $V =  K^(m) $ schreiben wir auch
	$
		partial_(j) f (a) = partial_(e_(j) ) f (a).
	$
]
#remark[
	Wie aus Satz folgt dann
	$
		d f (a) h =  partial_(h) f (a).
	$
]

#example[
	Seien $U =  V =  W =  M^(n times n) (RR)$ und $f: V ->  W$ gegeben durch $A |-> A ^2 $.

	Fuer $A, H in M^(n times n) (RR), t in RR$ gilt
	$
		(A +  t H)^2  =  (A + t H) (A +  t H) =  A ^2 +  t A H +  t H A +  t ^2  H ^2 
	$
	also
	$
		partial_(H) f (A) =  A H +  H A 
	$
	und das Differential $d f (A)$ ist gegeben duch
	$
		d f (A) H =  H A +  A H space forall H in M^(n times n) (RR).
	$
]

#definition[
	Ist $U subset  RR^(m) $ offen und $f =  (f_1, ..., f_n ): U ->  R^(n) $ eine Abbildung
	so nennen wir f k-mal stetig differenzierbar, falls jedes der $f_(j) $ k-mal stetig differenzierbar ist. Fuer die Notation gilt dann
	$
		C^(k) (U, RR^(n) ) =  {f: U -> RR^(n) | f "ist k-mal stetig diffbar"  }.
	$
]

#theorem[
	Seien $X, Y, Z$ endlich dim. normierte K-VR und zwei offene Teilmengen $U subset X and U' in Y$ und $ a in U$ und $f: U ->  U'$ diffbar in a und $g: U' ->  Z$ diffbar in $f (a)$.
	Dann ist $g compose f: U ->  Z$ diffbar in a mit
	$
		d (g compose f) (a) = d g (f (a)) compose f (a).
	$
	Im Fall $X =  K^(l) , Y =  K ^(m) , Z =  K ^(n) $ gilt
	$
		J_(g compose f) (a) =  J_(g) (f (a)) J_(f)  (a).
	$
] <difc>

#proof[
	Schreibe $f (a + h) =  f (a) +  d f (a) h +  norm(h) r_(f) (h)$.
	Betrachte nun
	$
		g (f (a)+  k) =  (g compose f) (a) +  d g (f (a))k +  norm(k)r_(g)  (k) , space lim_(h -> 0) r_(f) (h)= 0 , space lim_(k -> 0) r_(g) (k)= 0.
	$
	Es folgt dann
	$
		(g compose f)(a + h) &=  g (f (a) +  d f (a) h +  norm(h) r_(f)  (h)) \
		= (g compose f) (a) &+  d g (f (a)) (d f (a) h) +  d g (f (a)) (norm(h) r_(f) (h)) \
		 &+  norm( d f (a) h +  norm(h) r_(f) (h))r_(g) (d f (a)h +  norm(h)r_(f) (h)).
	$
	Fuer $h ->  0$ gilt
	$
		norm( d g (f (a))r _(f) (h)) <=  norm( d g (f (a)))norm(r_(f) (h))-> 0 \
		norm(d f (a) h +  norm( h)r_(f) (h))<= C norm(h)\
		norm(r_(g) (d f (a) h +  norm(h) r_(g)  (h))) -> 0.
	$
	Daraus folgt die Diffbarkeit von $g compose f$ in a und @difc.
]

#example[
	Ist $gamma: [0, 1] ->  U subset RR^(m) $ eine diffbare Kurve und $g: U ->  RR^n $ eine diffbare Abbildung, so ist die Bildkurve $tilde(gamma) =  g compose gamma: [0, 1]->  RR^n $ diffbar. Der Tangentialvektor ist dann gegeben durch
	$
		dot(tilde(gamma)) (t_0 ) =  d g (gamma (t_0 )) dot(gamma) (t_0 ) =  J _(g) (gamma (t_0 )) dot(gamma) (t_0 ) space forall t_0 in (0, 1).
	$
]

= Der Schrankensatz

#definition[
	 Ist $f: U ->  W, U subset V$ offen eine differenzierbare Abildung zwischen zwei endlich dim. K-VR $V, W$, so nennen wir $f$ steitg diffbar falls die
	Abbildung $U ->  L (V, W), a |-> d f (a)$ stetig ist.
]
#remark[
	Im Fall $V = K^(m)   W = K^(n)$ dann stimmt die Definition mit der Vorherigen ueberein.
]
#theorem[
	Seien $V, W$ endlich dim. normierte K-VR, $U subset V$ offen und $f: U ->  W$ stetig diffbar und $K subset U$ kompakt und konvex. Dann gilt $forall x, y in K$
	$
		norm(f (y) - f (x)) <= norm( d f )_(K)  norm(y - x) "mit" norm(d f)_(K) =  sup_(a in K) norm(d f (a)).
	$
]
#proof[
	// Dieser Beiweis wird etwas umstaendlicher durch die Komponenten der Funktion o
	Betrachte die Kurve $gamma: [0, 1]-> K, t |-> x +  t (y-x)$. Sei $epsilon >0$ und schreibe $L :=  norm(d f)_(K) $. Wir definieren $F_(epsilon) : [0, 1] ->  RR$ durch
	$
		F_(epsilon)  (t) :=  norm(f (gamma (t)) - f (x)) - t (L +  epsilon) norm(y - x).
	$
	Es gilt nun zu zeigen, das $F_(epsilon)  (1) <= 0 space forall  epsilon > 0$. Angenommen $exists  epsilon > 0: F_(epsilon) (1) > 0$. Waehle $0 < c < F_(epsilon) (1)$.
	Da $F_(epsilon) $ stetig ist und $[0, 1]$ kompakt, ist auch $[0, 1] sect {t: F_(epsilon) <= c }$ kompakt und besitzt ein Maimum $t_0 in (0, 1]$.
	Es gilt $F_(epsilon)  (t_0 )=  c$ und $F_(epsilon)  (t) > c space forall t > t_0 $. Fuer $t in (t_0 ,t]$ definiere
	$
		phi (t) := (F_(epsilon)  (t) - F_(epsilon) (t_0 )) / (t - t_0 ) 
	$
	dann ist $phi (t) > 0 space forall t in (t_0 , t]$. 
	Betrachte fuer $t_0 < t <= 1$ die Ungleichung
	$
		phi (t) <= norm((f (gamma (t)) - f (gamma (t_0 )))/(t - t_0 ))  - (L +  epsilon) norm(y - x) \
		= norm(f (gamma (t)) - f (x) ) -  norm(f (gamma (t_0 )) -  f (x)) .
	$
	Fuer $t ->  t_0 $ gilt dann
	$
		lim_(t -> t_0 ) norm((f (gamma (t))- f (gamma (t_0 ))) / (t - t_0 ) ) =  norm( d f (gamma (t_0 )) (y -x)) <= L norm(y - x) => exists t_0 < t_1 <= 1 \
		"mit" phi (t_1 ) <= 0.
	$
	Das steht dann im Widerspruch zu $phi (t) > 0 space forall t in (t_0, 1]$.

]


#remark[
	Wir koennen in diesem Beweis nicht den Mittelwertsatz benutzen, da dieser nicht auf hoehere Dimensionen uebertragbar ist.
	Betrachte z.B. die Abbildung
	$
		g: [0, 2 pi] ->  RR ^2 , t |-> (cos t, sin t).
	$
	Dann gilt $g (2 pi) =  g (0) =  (0, 1)$ aber $dot(g) (t) != 0$.
]

= Verschiedene Formen der Differenzierbarkeit

Betrachte eine Funktion $f: U ->  CC, U subset  CC$ offen und $a in U$.

Ist $f $ in $a$ C-diffbar, so gilt fuer alle $h in CC$ hinreichend klein, dass $f (a +  h) =  f (a) +  d f (a) h +  r (h)$ mit $lim_(h -> 0) (r (h)) / (norm(h)) = 0$.

Diese Bedingung ist aequivalent zu $lim_(h -> 0) (f (a + h)- f (a)) / (h) = f' (a)$.

Wir koennen imt einem Isomorphismus $CC tilde.equiv RR^2 $ die Funktion f auch aufassen als Funktion von einer offenen Menge $U subset RR^2 -> RR^2  , (x,y) |-> (Re(f (x +  i y)), Im(f (x +  i y)))$.

Angenommen $f$ ist in $a =  a_1 +  i a_2  $  C-diffbar, ist dann $f$  in $(a_1,  a_2 )$ auch R-diffbar als Funktion $U ->  RR^2 $?

Betrachte
$
	f (a_1,  i a_2 +  (h_1 +  i h_2 )) =  f (a_1, i a_2 ) +  f' (a_1 +  i a_2 ) (h_1, i h_2 ) +  r (h_1, h_2 ) \
	"mit" r (h_1,  h_2 ) =  o (abs(h_1 +  i h_2 )) =  o (norm((h_1,  h_2 ))).
$
Hieraus folgt die R-diffbarkeit von $f$ in $(a_1,  a_2  )$ mit 
$
	partial_(x) f (a) =  f' (a) "und" partial_(y)  f (a) =  i f' (a).
$
Insbesondere gilt hier ein Zusammenhang zwischen der partiellen Ableitung nach x und nach y.

#example[
	Die Funktion $g: CC ->  CC, z |-> overline(z)$ ist eine lineare Abbildung auf $RR^2 $ mit
	$
		(x, y) |-> (x, -y)
	$
	ist R-diffbar aber nicht C-diffbar.
]