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)

= Uebersicht

= Das Hamiltonsche Prinzip

Die Wirkung $S$ ist gegeben als ein Skalar gegeben durch das Funktional der erlaubten Bahnkurven
$
	S [q] =  integral _(t_1 ) ^(t_2 ) d t  L (q, dot(q), t),
$
mit $q =  (q_1 ,q_2, ..., q_(f) ), dot(q)_(k) = (dif q_(k) ) / (dif t), q_(k) (t_1 ), q_(k) (t_2 ) "fest" $.

Die physikalische Loesung folgt dann aus dem Extremem der Wirkung
$
	delta S =^(!) 0
$
bei Variation der $q_(k) : (delta q_(k) = 0 )$
$
	q_(k) -> tilde(q)_(k) + delta q_(k).
$
Aus der Variationsrechnung folgt dann die Euler-Lagrange Gleichung
$
	dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) = 0.
$
Die allgemeine Variationsrechnung ist dann gegeben durch
$
	J [y]= integral_(s_1 )^(s_2 ) d s F (y, y', s), y' =  (dif y) / (dif s).
$

= Diskussion

- Bisher haben wir ein AWP der Form $q_(k) (t_0 ), dot(q)_(k) (t_0 )$ mit $2 f$ Konstanten
- Mit dem Hamiltonschen Prinzip (HP) hat das AWP einfach die Form $q_(k) (t_1), q_(k) (t_2 )$ also wieder $2 f $ Konstanten

#example[
	Wurf von Kreide.

	Die Frage ist mit welchen Anfangsbedingungen muss ich starten, damit ich dort hinten ankomme. Waehle also $dot(x), dot(z)$ bei $t_1 $ so, dass $(x, z) = (x_0 , 0)$ bei $t_2 $.
	Es gibt also einen eindeutigen Punkt bei dem wir schreiben koennen
	$
		x_0 =  x_0 (dot(x) (t_1 ), dot(z) (t_1 ))
	$
]

In der Mechanik treten immer DGL von 2. Ordnung in der Zeit auf. Ist das immer so in der Variationsrechnung?
Wichtig ist noch das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Stetigkeit des Funktionals. Nicht jedes Funktional laesst sich mit der Euler-Lagrange Gleichung loesen.