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)

= 1. Einfuehrung in die Ringtheorie

#definition[
	Ist auf einer abelschen Gruppe eine weitere Verknuepfung $*: R times R -> R, (x,y) |-> x y$ und fuer alle $x,y in R$ die folgenden Bedingungen
	erfuellt sind
	$
		x (y + z) =  x y +  x z \
		(y + z) x =  y x +  z x
	$
	dann wird $(R, *, +)$ als *Ring* bezeichnet.
	Falls die Multiplikation kommutativ ist, so wird der Ring als kommutativ bezeichnet.
	Das Element $1 in R$ heisst Eins falls fuer alle $r in R$ gilt
	$
		1 * r = r * 1 = r.
	$
]

#lemma[
	Ist R ein Ring mit kommutativer Multiplikation, so gilt der Binomische Satz der Form
	$
		(x + y)^(n) = x^(n) +  y^(n) + sum_(i=1)^(n-1)   vec(n, i) x^(i) y^(n-i).
	$
]

#lemma[
	Ist R ein Ring, so gilt fuer alle $r, x in R$
	$
		0 r = r 0 = 0 , space (-x)y =  - (x y) =  x (-y) , space (-x) (-y) =  x y.
	$
]

Die Menge aller Matrizen mit eintraegen aus R ist wieder ein Ring. Im Folgenden ist stets R ein kommuativer Ring mit Eins.

Wir defineren den Raum
$
	R^(oo) := {(x_n) _(n in N_(0)  ) | forall n in N_(0):  x_(n)  in R } 
$
mit den Verknuepfungen zwischen $(a_(n) ), (b_(n) )in R^(oo) $ gegeben durch
$
	(a_(n) ) +  (b_(n) ) &:=  (a_(n) +  b_(n) ) \
	(a_(n) )(b_(n) ) &:= (sum_(j = 0)^(k) a_(k-j)  b_(j)  )_(n in N_(0) ) 
$
wird $R^(oo) $ zu einem kommutativen Ring mit Eins.

#definition[
	Polynom mit Koeffizienten in R.

	Ein Element E aus dem Polynomring $R [X]$ ueber R mit der Unbestimmten X ist gegeben durch
	$
		
		E = sum_(j=0)^(n) r_(j) X^(j) ..  "mit" n in NN, r_(j)  in R space forall j.
	$
]

#definition[
	Seien $S, R$ Ringe und $phi: S -> R$ eine Abbildung. Dann ist $phi$ ein *Ringhomomorphismus* falls gilt
	$
		phi (s + r) = phi s +  phi r \
		phi (s r) =  phi s * phi r.
	$
	Jeder Ringhomomorphismus ist so auch ein Gruppenhomomorphismus zwischen $(S, +) "und" (R, +)$.
	Es folgt so dass
	$
		phi (0_(R) ) = 0_(S)  "und" phi (-x) =  - phi x space forall x in R.
	$
]

#theorem[
	Sei $R =  ZZ$ ein Ring. Sei $phi: ZZ -> ZZ$ ein Ringhomomorphismus. Dann fuer alle $x in R$ entweder $phi x = 0$ oder $phi x = 1$.
]
#proof[
	Es gilt, dass $phi 1 = phi (1^2) = (phi 1)^2 $ wodurch folgt, dass $phi 1$ entweder 1 oder 0 sein muss.
	Dadurch folgt mit $m 1 =  1 + ... + 1$ die Aussage.
]

#definition[
	Ein Unterring U von R heisst *Ideal* in R, falls fuer alle $x in U$ und $y in R$ gilt, dass $x y in U$ und $y x in U$.
]
#theorem[
	Der Kern eines Rinhomomorphismus $phi: R -> S$  ist ein Ideal in R.
]
#theorem([Homomorphisatz fuer Ringe])[
	Ist $phi: R -> S$ ein Ringhomomorphismus dann ist durch
	$
		Phi: R slash ker phi -> S
	$
	ein injektiver Ringhomomorphismus definiert. Es gilt auch dass $phi (R)$ isomorph zu $R slash ker phi$ ist.
	
]