#import "./preamble.typ": *
#show: conf.with(num: 4)

= Studienleistungen

- mind. 2x vorrechnen

= Integration

#flashcard(0)[onw][
	sf
]

Idee:

- Differenzieren: 
$
	F: I -> RR \
	F'(x) = lim_(x -> oo) 
$<okay>

Die Idee ist nach einer Funktion zu fragen, welche die Vorschrift $F' = f$ erfuellt.

Dazu kann in 2 Dimensionen der Flaecheninhalt unter dem Graphen der Funktion ermittelt werden.

== Unbestimmte Integration

Frage:

Gegeben sei ein Intervall $I$ in RR und eine Funktion $f: I -> RR$

Finden wir $F: I ->  RR$ mit $F' = f$?

#definition[
	Gegeben: $I <= RR$ Intervall

	$F, f: I ->  RR$

	- $F$ eine Stammfunktion zu f auf I oder unbestimmtes
]

Beachte:

Gegeben seien Stammfunktionen $F_1, F_2$ zu $f$

$
	==> (F_1 - F_2)'(x) = f(x) - f(x) = 0\
	==> F_1 - F_2 "konstant auf" I
$

Man ueberprueft ob eine Funktion eine Stammfunktion ist anhand der Definition.

Nicht jede Funktion hat eine Stammfunktion.


#theorem[
	Zwischenwertsatz fuer Ableitungen

	Sei $F: [a,b] ->  RR$ diffb.

	$
		==> F' "nimmt auf" (a,b) "jeden Wert zwischen" F'(a) "und" F'(b) "an".
	$ <zws>
]

#proof[
	// TODO: write this proof
	
]

Die Funktion, welche eine Stufenfunktion ist hat keine Stammfunktion, da sie im Widerspruch zu Satz @zws steht.

#theorem[
	Summenregen fuer Integration

	Seien $I, I_0 "Intervalle in" RR$ uns $alpha_1, ... alpha_n in RR$

	- Gegeben:
	  
		$f_1, ...,f_n I -> RR $
	// TODO: zuende schreiben

]