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)

= Uebersicht

Elektrostatik 
$
  arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) =  (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 )  \ 
  arrow(nabla)  times  arrow(E) (arrow(x)) =  0.
$
In der Ebene gilt 
$
   arrow(E) (z) =  sign z (sigma) / (2 epsilon_0 ) hat(z).
$
Verallgemeinerung fuer beliebige Flaechen. Wir koennen keine allgmeeine Formen angeben. Es lassen sich aber Aussagen ueber die unmittelbare Naehe treffen. Wir betrachten eine Flaeche $A$ mit Normalenvektor $hat(n)$ und Ladungsdichte $sigma$ und einem elektrischen Feld $arrow(E)$. Wir setzen einen Zylinder mit der Hoehe $h$ in die Ebene. Es gilt 
$
  integral.surf _(partial V)  dif arrow(s) * arrow(E) =  (sigma A) / (epsilon_0 ) \ 
  lim_(h -> 0) ==> (sigma A) / (epsilon_0 ) = ( hat(n) * arrow(E)_(+)  - hat(n) * arrow(E)_(-) ) * A \ 
  ==> hat(n) * arrow(E)_(+) - hat(n) * arrow(E)_(-)  =  sigma/epsilon_0.
$
Das elektrische Feld hat also einen Sprung von $sigma/epsilon_0 $ an einer leitenden Ebene.

Wir betrachten eine Schleife $S$


#figure(
  image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg"),
)
in der Seitenansicht von einer Ebene. Es gilt 
$
  integral.cont_(S) dif arrow(r) * arrow(E) =  integral _(partial S) dif arrow(s) (arrow(nabla) times arrow(E)) = 0 \ 
  a -> 0 ==> L (E_(+) ^(parallel) -  E_(-) ^(parallel ) ).
$
Die Parallelkomponente des Feldes bleibt also stetig.

Wir betrachten zwei parallele Ebenen 


#figure(
  image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg"),
)

#remark[
  Alle Gleichungen der Elektrostatik sind linear $==>$ Die Loesungen fuer die Felder koennen nach dem *Superpositionsprinzip* addiert werden 
  $
    arrow(E)_(1), arrow(B)_(1) "Loesungen fuer" rho_(1) arrow(j)_(1) \
    arrow(E)_(2), arrow(B)_(2) "Loesungen fuer" rho_(2) arrow(j)_(2)  \ 
    ==> arrow(B) =  arrow(B )_(1) +  arrow(B)_(2)  and arrow(E) = arrow(E)_(1) +  arrow(E)_(2) "sind Loesungen fuer" rho = rho_(1) +  rho_(2)  and arrow(j) = arrow(j)_(1)  +  arrow(j)_(2).
  $
  Die Elektrostatik ist deshalb eine einfache Theorie, da sie linear ist.
]

In der Mitte der beiden Platten ist ein Feld von 
$
  arrow(E) =  sigma/epsilon_0 hat(z).
$
Aussherhalb ist es feldfrei.

= Kugelschale

Wir betrachten den Rand einer Kugel mit Radius $R$. Auf der Kugelschale ist gleichmaessig $sigma$. Die Gesamtladung ist 
$
  Q =  4 pi R^2 sigma.
$
Ausserhalb der Kugelschale ist durch den Gausschen Satz
$
  arrow(E) (arrow(r)) = Q/(4 pi epsilon_0 r^2  ) hat(r).
$
Und innerhalb folgt dann 
$
  arrow(E) =  0,
$
da dort keine Ladung eingeschlossen ist.

Pruefen der Unstetigkeit am Rand der Kugel 
$
  E_(+ ) ^(perp) =  Q/(4 pi epsilon_0 R^2 ) -   0 \ 
  = sigma/epsilon_0.
$

= Loesungen fuer beliebige Ladungsverteilungen

Betrachte das elektrostatische Potential 
$
  arrow(nabla) * arrow(E) =  rho/epsilon_0 \ 
  arrow(nabla) times arrow(E) =  0.
$
Wir nutzen, dass in einem einfach zusammenhaengenden Gebiet folgt aus $arrow(nabla) * arrow(E) =  0$, dass es ein skalares Feld $phi$ gibt mit 
$
  arrow(E) =  -  arrow(nabla) phi.
$
Hier wird $phi$ als elektrostatisches Potential bezeichnet.
#definition[
 Einfach zusammenhaengendes Gebiet $G subset RR^3 $. Jede geschlossene Kurve in $G$ laesst sich in $G$ auf einen Punkt zusammenziehen. Dieses ist dann *Nullhomotop*.
]
Es folgt also 
$
   arrow(nabla) times arrow(E) =  arrow(nabla) times (- arrow(nabla) phi) = 0.
$
Verbleibende Gleichungen der Elektrostatik
$
  arrow(nabla)  * arrow(E) =  arrow(nabla)  * (-  arrow(nabla) phi) =  - Delta phi =  rho/epsilon_0.
$
Der Laplace Operator 
$
   Delta =  diff^2  / (diff x ^2 ) + diff^2  / (diff y ^2 )  + diff^2  / (diff z ^2 ).
$
Die Poissongleichung 
$
  Delta phi =  -  rho/ epsilon_0.
$
In Regionen wo die Ladungsdichte verschwindet gilt 
$
   Delta phi = 0.
$

#remark[
  + $phi$ ist bis auf eine lineare Funition eindeutig definiert $phi (arrow(x)) ->  phi (arrow(x)) +  ( a +  arrow(b) * arrow(x))$ ist auch eine Loesung. Die Konvention ist hier $phi (arrow(x)) -> ^(abs(arrow(x)) -> oo) 0$
  + Hamiltonfunction fuer Testladung $q$
      $
        H =  (arrow(p)^2 ) / (2 m) + q phi (arrow(x)) ==>  dot(p)_(alpha) =  -  (diff H) / (diff x_(alpha) ) =  -  q (diff phi) / (diff x_(alpha) )  \ 
        dot(x)_(alpha)  =  (diff H) / (diff p_(alpha) )  =  p_(alpha) /m \ 
        ==> m dot.double(arrow(x)) =  - q arrow(nabla) phi =  q arrow(E)
      $
  + Die Loesung der Laplacegleichung nennt man harmonische Funktionen. Fuer diese gibt es das Max-Prinzip.
    Harmonische Funktionen koennen im Inneren des Definitionsbereiches kein echtes maximum oder Minimum annehmen. Es gilt auch
    $
      Delta phi (arrow(x)) =  0 "fuer Definitionsbereich" G.
    $
    Deshalb kann es auch keine stationaere Konfiguration fuer Ladungsverteilungen geben.
]

= Potential einer Punktladung 

Es muss gelten 
$
  arrow(E) =  - arrow(nabla) phi \ 
  rho (arrow(x)) =  Q delta ^((3)) (arrow(x)) \ 
  ==> Delta phi =  -  Q/epsilon_0 delta ^((3))  (arrow(x)) \ 
  phi (arrow(x)) =  (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))).
$
Nachpruefen des Ansatzes
$
   arrow(x) != 0 \ 
   arrow(nabla) 1/arrow(x) =  - (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  \ 
   ==> Delta 1/arrow(x) =  arrow(nabla) * arrow(nabla)  1/arrow(x) = -  arrow(nabla) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  \ 
   = -  (1) / (abs(arrow(x))^3 )  arrow(nabla) arrow(x) -  sum _(alpha = 1) ^(3) x_(alpha)  diff / (diff x_(alpha) )  1/(abs(arrow(x))^3 ) \ 
   = -  3/abs(arrow(x))^3 - x_(alpha)  ((- 3/2) * 2 x_(alpha) ) / (abs(arrow(x))^3 ) = 0.
$
Eine kleine Kugel um den Ursprung 
$
   integral.vol dif^3 x arrow(nabla)  * arrow(E) =  integral_(partial V ) dif arrow(s) * arrow(E) \ 
   =  -  integral _(partial V )  dif arrow(s) * arrow(nabla) phi \ 
   =  -  Q/(4 pi epsilon_0 ) integral _(partial V)  dif arrow(s) * arrow(nabla)  1/abs(arrow(x)) = 1/epsilon_0 Q \ 
   =  (Q) / (4 pi epsilon_0 )  integral _(partial V)  dif arrow(s) * (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  =  (Q) / (4 pi epsilon_0 )  4 pi R^2 * 1/R^2.
$

= Elektrisches Feld einer Punktladung 

Es folgt nach Berechnung
$
  arrow(E) (arrow(x)) =  -  arrow(nabla) phi \ 
   =  (Q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  =  (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))^2 ) hat(x).
$
Dies ist also genau wieder das Coulomb-Gesetz.