#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(num: 4)

= Grundlagen der Netwon'schen Mechanik

+ MP
+ Das Ziel ist die Trajektorie im $RR^n $ (Euklidischer Raum)

Die Wahl des KS (kartesisch)
- Wahl des Urprungs
- Orietierung der Achsen
$
	arrow(r) (t)= arrow(e)_(x) + y (t) arrow(e)_(y) + z (t) arrow(e)_(z) \
	= vec(x,y,z)_(x y z) \
	arrow(r)= r arrow(e)_(r) \
	r = abs(arrow(r))= sqrt(x^2 + y^2 + z^2 )
$

Wir betrachten die nicht-relativistische Mechanik, sodass die Zeit absolut ist $t = t'$.  \
Wir fordern jedoch die Forminvarianz aller physikalischer Gesetze.

Beschleunigte Bezugsysteme werden wir nicht verlangen, dass die selben Gesetze entstehen.  \
+ Die Forminvarianz soll in allen Inertialsystemen gelten.
+ $"KS"= "IS"==> "KS' mit" arrow(v)_("rel") "bewegt auch IS"$

Es gilt, dass in beiden Koordinatensystemen die Kraft gleich die zeitliche Ableitung des Impulses ist.

== Wechsel zwischen IS

Galilei-Tafel
$
	t'= t \
	arrow(r')= arrow(r)-arrow(v)_("rel") t \
	==> "Newton II invariant"
$

== Newtons Prinzip der Bestimmtheit

+ AWP: $arrow(r) (t_0 ),dot(arrow(r)) (t_0 )==> arrow(r) (t), forall t $
	- Messwerte zur Zeit $t$: $arrow(r) (r),dot(arrow(r)),...,O(arrow(r),dot(arrow(r)),t) "(QM)"$
	$==>$ Euklidischen Raum bei mikroskopischen Kraeften
+ Effektive Probleme mit Reibung
	- Dynamik auf gekruemmten Flaechen

Mathematische Ungenauigkeiten kommen durch eingefuehrte Idealisierungen.

== Newton II
In der mikroskopischen Physik gilt die Gleichung
$
	m dot.double(arrow(r))= arrow(f) (r,dot(arrow(r)),t).
$
Die Masse und die Kraefte kommen aus experimentellen Beobachtungen.

== Kraefte

Es gibt jetzt $N$ MP mit den Ortsvektoren $arrow(r)_(i) $.
$
	m_i dot.double(arrow(r))_(i) = arrow(f)_(i) (arrow(r)_(j) ,dot(arrow(r))_(j) ,t), j != i.
$
Das ergibt 3N Gleichungen.

WICHTIG: Naeherung, welche immer verwendet wurde, die des abgeschlossenen Systems.

Mikroskopisch ufndamentale Kraefte sind die #underline[Gravitaion] und die #underline[Elektro-/Magnetostatik]. Deren Potential ist Proporitional zu $r^(-1) $, d.h. sie sind ein radial Potiential. \
Die daraus resultierende Kraft ist eine Paarkraft
$
	arrow(f)_(i j) = arrow(f)_(i j) (abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )).
$

Actio $= $ Reactio: $arrow(f)_(i j) = -arrow(f)_(j i) $.

Starke Version von Actio gleich Reactio: $arrow(f)_(i j) =  f_(i j) (abs(arrow(r)_(i) -arrow(r)_(j) ))arrow(e)_(i j) , space  f_(i j) = -f_(j i) , space arrow(e)_(i j) = (arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) / (abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )) $


Die kleinen $f$ sind die Kraefte, welche die MP gegenseitig auf sich ausueben und die grossen $F$ sind die globalen externen Kraefte. \
Allgemeine Form
$
	arrow(f)_(i) = sum_(j != i)^(N) arrow(f)_(n) + arrow(f)^("ext") _(i).
$
Fuer ein abgeschlossenes System gilt die Naeherung
$
	arrow(f)^("ext") _(i) = arrow(0) space forall i.
$

= Abgeschlossene Systeme
- N MP $==>$ $m_i $
- $m_i != m_i (t)$ Q: Was bedeutet das?
- Starkes Actio gleich Reactio

== Massenschwerpunkt
$
	arrow(R)= (1) / (M) sum_(i=1)^(N) m_i arrow(r)_(i) , space M = sum m_i \
	M dot.double(arrow(R))= sum m_i dot.double(arrow(r) )_(i) = sum (sum _(j != i) arrow(f)_(i j) + arrow(f)^("ext") _(i) )= sum arrow(f)^("ext") _(i) = arrow(F)^("ext") \
	M dot.double(arrow(R))= arrow(F)^("ext") 
$
nur geschlossen, falls $arrow(F)^("ext") = "const"$.

$
	arrow(R) (t)= arrow(V)_(0) (r)+ arrow(r)_(0) 
$

Damit haben wir nur noch $6N - 6$ Gleichungen zu loesen.

= Gesamtimpuls
$
arrow(p)= sum  arrow(p)_(i) =  sum  m_i dot(arrow(r))_(i) \
dot(arrow(p))= sum m_i dot.double(arrow(r))_(i) =  M dot.double(arrow(R))
$

$
	arrow(F)^("ext") = 0 <==> (dif arrow(p)) / (dif t) = 0 , space arrow(p) "erhalten"
$

== Gesamtdrehimpuls

$
	arrow(L)&= sum arrow(l)_(i) = sum (arrow(r)times arrow(p)) \
	&= sum m_i (arrow(r)_(i) times dot(arrow(r)))
$

$
	dif / (dif t) arrow(L)= sum  m_i (dot(arrow(r))times dot(arrow(r))+ arrow(r)times arrow(r))= sum arrow(r)times (sum _(i != j) arrow(f)_(i j) +  arrow(f)^("ext") _(i) )\
	sum arrow(r)times arrow(f)_(i j) = 1/2 sum  (arrow(r)times arrow(f)+ arrow(r)times arrow(f))=  1/2 sum (arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )times arrow(f)_(i j) =  arrow(0)
$

Abgeschlossenes System: $(dif arrow(L)) / (dif t) = arrow(0)$

$arrow(f)^("ext") _(i) != arrow(0) ==> dot(arrow(L))=  sum_(i=1)^(N) (arrow(r)_(i) times arrow(f)^("ext") _(i) )= arrow(N)$

Naechsten Montag weiter in den abgeschlossenen Systemen. Danach die zentral Potentiale.