= Einleitung

Dozent: marcus.muillr\@uni-goettingen.de

== Pruefungsvorleitstung

- 4 Testat-Aufgaben jeweils eine Woche
- git repo $-> $ Tutor
- Pass/Fail 1 Verbesserung pro Testat moeglich

== Pruefung

Projekt + Report eine Woche Zeit

ca. 10 Seiten

1. Periode 4-11 August
2. Periode 6-13 Oktober

Programmiersprache C. Die Programme muessen lauffaehig im CIP Pool sein.

Graphische Auswertung in Python.

== Literatur

Numerical Recipies Cambridge University Press

== Ziele

$"Probleme"-> "Algorithmen"-> "Programme"-> "Auswertung"$

= Numerische Integration

Das Problem ist ein einfaches Integral auszurechnen

$
	I = integral_(a)^(b) f(x) d x.
$

Dafuer kann die *Mittelpunktsregel* verwendet werden

$
	I = lim_(Delta x -> 0) sum_(i = 0)^(N)  Delta x f(x_(i)) \
	x_0 = a, x_N = b\
	Delta x = (b-a) / (N) \
	x_i = a + i Delta x\
	"Mittelpunkt": x_(i)  + (Delta x) / (2) l\
	I approx sum_(i)^(N)  Delta x f(x_i + (Delta x) / (2) ) \.
$


Oder die *Trapez-Regel*

$
	f_("app") =  f(x_i) + (f(x_(i+1) - f(x_i) ) / (Delta x)  (x - x_i)\
	I_1 = integral_(x_(i+1) )^(x_i) f(x) d x approx integral_(x_(i+1) )^(x_i) f_("app")(x) d x = Delta x (f(x_(i+1) )+ f(x_(i)))  / (2 ) .
$

== Simpson regel

Quadratische Naeherung der Funktion auf dem intervall

$
	I_(i) = integral_(x_(i+1) )^(x_(i) ) d x f(x) approx integral_(x_(i+1) )^(x_i) d x f_("app") (x) = (Delta x) / (6) [f(x_(i)) + 4 f(x_(i)) + f(x_(i)) ].
$

== Fehlerabschaetzung

Berechnung der Ordnungen der Fehler und Abschaetzung des Fehlers.

#highlight[TODO: Literatur lesen und die Kapitel ausbessern]

= Berechnung von Nullstellen

+	Intervallschachtelung
	Pruefen von Intervallen, welche durch die Bedingung $f(a)f(b) < 0$ eine Nullstelle enthalten muessen.
	Fuer den Algorithmus waelt man dann fuer die neue Intervallgrenze den Mittelpunkt zwischen $a$ und $b$, je nachdem ob die Bedingung fuer eine Nullstelle wieder erfuellt ist faehrt man dann mit dem einen oder dem anderen Intervall fort
+	Approximation durch eine lineare Funktion ($hat(f) = f_("app") $)
	$
		hat(f)(x) = f(a) + (f(b) - f(a)) / (b-a) (hat(x)-a)  = 0\
	hat(x) = a- (b-a) / (f(b) - f(a)) f(a)	
	$

	Mit der Iterationsvorschrift
	$
		x_(n+1) = x_(n-1) (f(x_(n)) - f(x_(n+1))  ) / (x_(n) -x_(n-1) ) f(x_(n-1) ),
	$
	wobei die Abbruchbedingung $abs(f(x_(n))) < epsilon$ ist.
+	Newton-Raphson ist ein iteratives Verfahren.

	 #highlight[TODO: understand and implement this]

= Auswahl von Algorithmen

+ Rechenzeit/Effizienz
+ Robustheit/Stabilitaet
+ Genauigkeit

== Bewertung der Algorithmen

+ Intervallschachtelung\
	Robustheit ++\
	Effizient

== Uebung

$f(z) = z^3 -1 = 0, quad  z in CC$ mit Newton.