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)

= Uebersicht

Die Ladung ist eine Erhaltungsgroesse. Fuer den Strom durch eine geschlossene Oberflaeche gilt
$
	I =  integral.cont arrow(j) d arrow(A) =  - (dif Q) / (dif t) =  - integral (dif Q) / (dif t) d arrow(r) , space Q =  integral rho d arrow(r).
$

Mit dem Gausschensatz gilt dann
$
	integral.cont _(A) arrow(j) d arrow(A) =  integral.cont _(V) arrow(nabla) times arrow(j) d arrow(r) \
	=> integral.cont _(V)  arrow(nabla) arrow(j) d arrow(r) =  - integral.cont _(V) (dif rho) / (dif t) d arrow(r).
$

Mit der Stromdichte $arrow(j)$ gilt
$
	I =  integral.cont _(A) arrow(j) d arrow(A)
$
falls die Stromdichte raeumlich konstant ist gilt
$
	I = arrow(j) arrow(A).
$
Weiter gilt fuer die Ladung
$
	Q =  n * q * arrow(A) * arrow(v) * Delta t \
	I =  n * q * arrow(A) * arrow(v) * (Delta t)/(Delta t) \
	=> arrow(j) =  n * q * arrow(v).
$

#theorem[
	Kontinuitaetsgleichung.

	Es gilt immer
	$
		arrow(nabla) * arrow(j) =  - (dif rho) / (dif t).
	$
]

= Ohm'sche Gesetz

Fuer das mikroskopische Verstaendnis im Drude Modell gilt
$
	arrow(F) =  -q arrow(E) =  m_(e) arrow(a) \
	arrow(a) =  -q/m_(e)  arrow(E).
$

#axiom[
	Annahme von Drude.

	Elektronen im Metall gehoeren nicht zu einem bestimmten Atom
	sondern bewegen sich wie in einem Gas. Dadurch entsteht eine ungerichtete Bewegung.
]

Im externen elektrischen Feld werden Elektronen zwischen den Stoessen untereinander beschleunigt.
Das laesst sich auch berechnen
$
	arrow(v)_(D) =  arrow(a) * tau = e/m_(e)  arrow(E) tau = underbrace((e tau) / (m_(e) ), mu : "Ladungstraegerbeweglichkeit") arrow(E).
$
Diese Driftgeschwindigkeit fuehrt dann zu einem Stromfluss.
Hier ist $tau$ die Mittlere Zeit zwischen den Stoessen.
Falls Elektronen an die Atomruempfe stossen ist $arrow(v)_(D)  = 0 $.

Wir koennen so formulieren
$
	arrow(j) &=  n * e * arrow(v)_(D) \
	&= n * e (e tau) / (m_(e) ) arrow(E) \
	&= (n e ^2 tau) / (m_(e) )  arrow(E).
$
#definition[
	Hier ist die *spezifische Leitfaehigkeit*
	$
		sigma =  (n * e ^2 tau) / (m_(e) )  =  n e mu.
	$
	Der *spezifische Widerstand* ist gegeben durch
	$
		rho =  1/sigma.
	$

]

#theorem[
	Ohm'sche Gesetz.
	Es gilt
	$
		arrow(j) =  sigma arrow(E).
	$
]

Es laesst sich vereinfachen
$
	arrow(f) =  (L) / (R A)  E \
	=> R =  (L E) / (j arrow(v) A) \
	=> R = U/I.
$

#definition[
	Der elektrische Widerstand ist gegeben durch
	$
		R =  (1) / (sigma) (L) / (A).
	$
]

= Stromleistung und Joul'sche Waerme

Fuer die elektrische Leistung git
$
	P =  (dif W) / (dif t) =  U (dif Q) / (dif t) =  U I.
$
Fuer Ohm'sche Leiter
$
	P =  I U =  R I^2 =  (U^2 ) / (R).
$

Q: Was passiert mit dem Potential im Ohm'schen Leiter?

Jetzt ist der Leiter keine Aequipotentialflaeche.

Es gilt
$
	U (x) =  Phi (x = 0) - Phi (x) =  R (x) / (L) I.
$