AGLA Zettel 4

18.05.2025

Max Offermann

Jonas Hahn

Horst Kretschmer

= Aufgabe 1

== Teil a

Angenommen $QQ$ ist endlich erzeugt. Dann gilt
$
	QQ =  (q_1, ..., q_n ), q_i =  (a_i ) / (b_i ).
$

Waehle $q_0 = (1) / (b) in QQ $ mit $b > product_(i)  b_i$ und $b$ eine Primzahl. Da $b_i >= 1, space forall 1 <= i <= n$ gilt folgt
aus der Konstruktion von $b$, dass
$
	b != b_i, space forall 1 <= i <= n.
$

Erlaubte Operationen, um das Erzeugnis in diesem $ZZ$-Modul zu bilden, sind
1. Multiplikation mit $ZZ$ $==>$ Variation von $a$
2. Addition innerhalb des Moduls mit
	$
		(a_1 , b_1 ) + (a_2, b_2 ) =  (a_1 b_2 + a_2 b_1 ) / (b_1 b_2 )
	$
	$==>$ der Nenner innerhalb des Ereugnis kann nur Vielfache der $b_i $ aus dem Erzeugendensystem annehmen

Nun ist $b$ eine Primzahl ist und nicht in ${b_i: 1 <= i <= n }$ enthalten, also auch kein Vielfaches der $b_i $. Somit gilt $1/b in.not QQ$. Widerspruch.
Also ist $QQ$ nicht endlich erzeugt.

== Teil b

Es gilt zu zeigen, dass $QQ$ torsionsfrei und nicht frei ist.

=== $QQ$ ist nicht frei

Angenommen $QQ$ ist frei. Dadurch ist $QQ$ durch eine Basis erzeugt, von welcher jede endliche Teilmenge linear unabhaengig ist.

Da die Basis B von $Q$ nicht endlich sein kann, also auch mehr als ein Element enthaelt, waehle
$
	q_1, q_2 in B , space q_1 = a/b "und" q_2 = c/d.
$

Betrachte $n,m in ZZ$

$
	n a/b + m c/d = (n overbrace(a d,u) + m overbrace(c b, v)) / (d b).
$

Waehle $n = v "und" m = -u$, dann folgt
$
	v u -  u v = 0 \
	==> v a/b + (-u) c/d = 0 \
	==> q_1 "und" q_2 "sind linear abhaengig."
$

Widerspruch.
Also ist $QQ$ nicht frei.

=== $QQ$ ist torsionsfrei


Sei $m in QQ \\ {0}$ beliebig, mit $m =  a/b$, dann gilt $a,b in ZZ \\ {0}$. \
Sei $z in ZZ \\ {0}$ beliebig. 

Betrachte
$
	a dot z = c in ZZ.
$

Es gilt durch $a,z != 0$, dass $c != 0$, da $ZZ$ Nullteilterfrei ist. \
Somit folgt $m r !=  0$, womit $QQ$ torsionsfrei ist.