// Diff template
#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(num: 2)

= Differentialgleichungen

ODEs

Mechankik: $dot.double(x) + omega_0 ^2 x=0$ ist eine ODE der Ordnung 2

$m dot.double(x) = F(x, dot(x), t)$ Newtons'sche Mechanik

zuruck fueren auf ein System von ODEs 1. Ordnung

Hamilton'sche Mechanik:

$
(partial HH(q, p)) / (partial d) = p/m, HH(q, p) = (p^2 ) / (2m) + V(q)\
dot(p)=-(partial HH) / (partial q) = - (partial V) / (partial q) 
$

Anfangsbedingungen $q(t=0) = q_0 "und" p(t=0) = p_0 $.\
Beispiele sind Ratengleichungen, radioaktiver Zerfall und Populationsdynamik.

== Pearl-Unschulat Modell

$n(t): "Anzahl der Individuen"$

$
	(dif n) / (dif t) = sqrt(n)n\
	sqrt(n)="const"\
	n(t) = n(0)exp(sqrt(t)) \
	sqrt(n)=r_0 (1-k_n ), k="const">0
$

allgemeine Formulierung: $y^((n)) (t)=g (y, y', ..., y^((n+1)), t )$

$
	y_(n)=y^((n)) \
	y^((n+1))+y^((n)) = g(y,y_1 , ..., y_(n-1), t)\
	y'_(n-2) =y_(n-1) \
	y'=g_1 
$

$
	dot(arrow(y)) = arrow(g)(y_1,  ..., y_(n-1) )\
	(dif y) / (dif t) = g(y, t)
$

Diskretisierung der Zeit $[0, T], t_0 = 0, t_1 =Delta t, t_n =n Delta t=T$

$
y (t_i ) =y(t_(i-1)) +integral_(t_i )^(t_(i-1)) d t g (y (t), t) approx^("Euler-Cauchy")  y (t_(i-1))+g (y (t_(i-1) , t_(i-1) )) Delta t + O(Delta t^2 )\
$

mit globalem Fehler bei Integration ueber $[Q, T]$

$
	E ~ (T) / (Delta t)  Delta t^2 ~ T Delta t ~ O(Delta t)
$

Beispiel Ratengleichung $r (n)=r- (1-k_n )$

$
	n (t_i ) = n (t_(i-1) )+r_0 (1-k_n / t_(i-1) )n (t_(i-1) Delta t)\
	n (t_i )=(1+Delta t r_0 )n (t_(i-1) ) (1- (Delta t r_0 k) / (1+ Delta t r_0 ) n (t_(i-1) ))
$

Variable $x (t_(i-1))=(Delta t r_0 k) / (1+Delta t r_0 ) n (t_(i-1) )$

$
	x (t_i )=4 mu x (t_(i-1) ) (1- x (t_(i-1) )), 4 mu=1+Delta t r_0 
$

Zuletzt: $Delta t$ klein

$
	n (t)=1/k, x (t)=(Delta t r_0 ) / (1+ r_0 Delta t)=(4 mu-1) / (4 mu) 
$

Pointcarre Abbildung mit Bifurkation.

== Leapfrog Algorithmus

// TODO: implement nl and Delta t in tyupstar as well as + 

$
	y'=g (y,t), y' (t_i ) (y (t_i )-y (t_(i-1) ) ) / (Delta t) + O (Delta t)\
	y' (t_i )=(y (t_(i+1)) -y (t_(i-1) )) / (Delta t)  + O (Delta t) 
$

#highlight[TODO: Implement this algorithmus as well as the global error]

== Velocity-Verlet Algorithmus fuer klassische Mechanik

$
	dot(arrow(t))=vec(dot(x) (t),dot(v) (t))=vec(v (t),a (x_(i)  t))\ 
	v (t_(i+1) )=x (t_(i-1) )+2v (t_i )Delta t+O (Delta t^3 )\
	v (t_(i_1) )=v (t_(i-1) )+2a (x (t_i ),t_1 )Delta t+O(Delta t^3 )
$

Umschreiben der zweiten Gleichung: 

Es wird von $t_(i-1) "nach" t_(i+1)$ gegangen. 

$
	v (t_i )=v (t_(i-1) )+a (x (t_(i_1) ), t_(i-1) )Delta t\
	x (i_(i+1) )= x (t_(i-1) )+2v (t_i ) Delta t \
	v (t_(i+1) )=v (t_i )+a (x (t_(i+1) ),t_(i+1))Delta t
$

Das ergibt

$
	v (t_(i+2) )=v (t_(i+1) )+a (x (t_(i+1) )t_(i+1) )Delta t
$

$==>$ $v (t_(i+2) )=v (t_i )+2a (x (t_(i+1) ), t_(i+1) )Delta t$

$2 Delta t = delta t$

$
	v (t+(delta t) / (alpha) )=v (t)+a (x (t),t) (delta t) / (2) \
	x (t+delta t)=x (t)+v (t+(delta t) / (2))delta t\
	v (t+delta t)=v (t+(delta t) / (s))+a (x (t+delta t),t+delta t)(delta t) / (2) \
$

== Forderungen an einen guten Integrator der klassischen Mechanik
- Energieerhaltung
- Zeitumkehrinvarianz
	+ der Bewegungsgleichungen sind zeitumkehrbar invariant. Jeder vernuenftige Algorithmus erfuellt dies zu der Ordnung $O(delta t^2 )$\
		$
			vec(x_0, v_0 )=vec(x (t),v (t))->^(T (Delta t)) vec(x (t+Delta t),v (t+Delta t))->  $
	+ des Algorithmus $x_0 -x_1 =0, v_0 -v_1 = 0$
- Phasenraumerhaltung symplektisch

$t_(i-1) -> t_(i+1) $

Zeitumkehr 
$
	arrow(x)' (t_(i+1) )=arrow(x) (t_(i+1) )\
	arrow(v)' (t_(i+1) )= - arrow(v) (t_(i+1) )
$

$t_(i+1) -> t_(i+3) $

$
	v' (t_(i+2))= v' (t_(i+1) )+a (x' (t_(i+1) ),t_(i+1) ) Delta t =-v (t_(i+1)) +a (x (t_(i-1) ))Delta t \ 
	x' (t_(i+1) )= x' (t_(i+1) )+2v' (t_(i+1) )Delta t\
	= x (t_(i+1) )+2 [-v (t_(i+1) )+a (x (t_(i+1) ))Delta t]Delta t \ 
	= x (t_(i-1) )+2 Delta t [v (t_i )-v (t_(i+1) )+a (x (t_(i+1) ))Delta t]\
	= x (t_(i-1) )
$


=== Takeways
- Ableitung diskretisierung
- Taylorentwicklung der Ableitung
- Mit Euler-Cauchy kann am einfachsten nach vorne integriert werden