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#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(
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	num: 5
)

= Wiederholung

Zunaechst werden N Massepunkte mit jeweils konstanter Masse betrachtet.

Als Aufgabe ist eine Gleichung fuer jeden Ortsvektor in Abhaengigkeit der Zeit gesucht.

Newton II loest dieses Problem als AWP von 3N DGL 2. Ordnung mit dann 6N Integrationskonstanten.

Kraefte.

= Gesamtenergie

Zunaechst hat jedes Teilchen im System eine kinetische und potentielle Energie.

Ein Kraftfeld ist konservativ wenn es die Ableitung eines Potentials ist. Dadurch ist die Gesamtenergie erhalten.

$
	arrow(f)=  -arrow(nabla) V (arrow(r))
$

#example[
	Zentralkraftfelder.

	$
		arrow(f)= f (r) arrow(e)_(r), space arrow(e)_(r) =  (arrow(r)) / (abs(arrow(r))) 
	$
	Potential:
	$
		V (arrow(r)) =  - integral_(r)^(r_0 ) f (r')d r'
	$

	$j
		- arrow(nabla) V (arrow(r)) =  f (r) arrow(nabla) r =  f (r) arrow(e)_(r) 
	$
]


$
	m_i dot.double(arrow(r))_(i) =  sum_(j != i)^(3 N) arrow(f)_(i j) + arrow(f)^("ext") _(i) 
$

#definition[
	Zweiteilchenpotentiale.

	$
		v_(i j) = v (arrow(r)_(i), arrow(r)_(j) ) \
		arrow(f)_(j i)  = - arrow(nabla) _(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) v_(j i)  \
		v _(i j)  =  V_(W W) (abs(arrow(r)_(1) - arrow(r)_(j) )), x_(i) -  x _(j)  \
		arrow(nabla) phi (x,y,z) =  vec(partial / (partial x) phi, partial / (partial y) phi, partial / (partial z)phi )
	$


	Hier ist also der neue Nabla-Operator
	$
		arrow(nabla) _(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) =  vec(dif / (dif x_(i) - x_j ) , dif / (dif y_i - y_j ), dif / (dif z_i - z_j )  ).
	$
]

Fuer N MP laesst sich die Energie im allgemeinen bestimmen durch

$
	E =  sum_(i)^(N) m_i/2 (dot(arrow(r)))^2 + 1/2 sum_(i != j)^(N) v_(i j) + sum_(i)^(N) v^("ext") (arrow(r)_i ) \
	==> (dif E) / (dif t) 
$

Q: Warum nur die Haelfte des Zweiteilchenpotentials?
A: Wir bekommen zwei mal von zwei Seiten das gleiche Potential.

=== Grenzfaelle

+ $v_(i j) =  0 ==> "N freie Teilchen" ==> "N entkoppelte DGL (jeweils 3)"$
+ Starrerkoerper $abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j))= "const"$
+ Annahme Gleichgewicht $arrow(r)^(0) _(1) , ...$

Q: Wie funkioniert die Reduktion eines zwei Teilchenproblems auf ein Teilchenproblem?

= Zweikoerperprobleme

Wie betrachten zwei Massepunkte mit den Ortsvektoren $arrow(r)_(1) "und" arrow(r)_(2) $. Es wird angenommen, dass das System abgeschlossen ist.

Die Reduktion auf ein 1 TL Problem erfolgt durch eine Koordinantentransformation
$
	M arrow(R) = m_1 arrow(r)_(1) +  m_2 arrow(r)_(2)  \
	arrow(r) =  arrow(r)_(1) - arrow(r)_(2) 
$

Was fuer BWGL ergeben sich jetzt?

$
	m_1 dot.double(arrow(r)) =  arrow(f)_(1 2) \
	m_2 dot.double(arrow(r)) =  arrow(f)_(1 2) \
	M (dot.double(arrow(r))_(1) + dot.double(arrow(r))_(2) )=  arrow(f)_(1 2) +  arrow(f)_(2 1) =  arrow(0)\
	dot.double(arrow(R)) =  arrow(0) \
	dot.double(arrow(r)) =  dot.double(arrow(r))_(1)  - dot.double(arrow(r))_(2) \
	= (arrow(f)_(1 2) ) / (m_1 ) - (arrow(f)_(2 1) ) / (m_2 ) \
	= arrow(f)_(1 2) ((1) / (m_1 ) + (1) / (m_2 )  ) \
	=  (1) / (mu) 
$