#import "./preamble.typ": *; #show: conf.with(num: 1, ueb: true)

= Aufgabe 1

+	Gegeben ist eine homogene gewoehnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $dot.double(y) + a y = 0$.
	Diese kann mittels eines Exponentialansatz $y = c e^(lambda t)$	geloest werden.
	Umformen liefert fuer $lambda$ die beiden Loesungen $lambda_1$ und $lambda_2$

	$
		(c_1  e^(lambda t))'' + (a c_2  e^(lambda t))'  = 0\
		<==> c_1  lambda^2 e^(lambda t) + a c_2 lambda e^(lambda t) = 0\
		==> lambda^2 + a lambda = 0\
		==> lambda_1 = 0 and lambda_2 = -a.
	$

	Da die Nullfunktion nicht interessant ist folgt fuer die allgemeine Loesung:

	$
		y(t) = c_1 + c_2 e^(-a t) 
	$
	
+	Der Ansatz fuer das eindimentionsale Problem ist hier $x(t) = x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2$.
	
	Einsetzen liefert die BWGL

	$
		r(t) = x(t) = x_0 + v_0 t - 1/2 g t^2.
	$

+	Grundsaetzlich gilt, dass $nabla V(r) = arrow(F)(arrow(r))$. Es kann also das Kraftfeld integriert werden um das relative Potential zu erhalten.
	$
		arrow(F)(arrow(r)) = (alpha) / (r^2 ) arrow(e)_(r) \

	$
	
	$
		arrow(F)(arrow(r)) = (beta) / (r^3 ) arrow(e)_(r) 
	$

	#highlight[Wie das am besten rechen? Nutzen von Abkuerzungen.]

+ 	Potentiale Ableiten.
	
	$
		dif / (dif x) kappa x^2 = 2 kappa x\
		dif / (dif x) V_0 sin^2 (kappa x) = 
	$