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)

= Uebersicht

#theorem[
  Sei $(X, norm(*))$ ein normierter Vektorraum. Dann gilt:
  - Es gibt eine Isometrie $z: X ->  hat(X)$ in einen Banachraum $hat(X)$, deren Bild dicht in $hat(X)$ liegt
  - Die Isometrie $z$ ist durch $(X, norm(*))$ im wesentlichen eindeutig bestimmt (d.h. ist $z_(2) :X ->  hat(X)_(2)  $ eine weitere Isometrie, so gibt es einen isometrischen Isomorphismus $phio$
]

#proof[
  Betrachte alle Cauchyfolgen in $QQ$. Nun laesst sich dort $QQ$ wiederfinden durch 
  $
    q |-> (q, q, ...) ~ (q + 1, q + 1/2, q + 1/3, ...).
  $
]

Ob etwas eine Cauchyfolge ist kommt auf die bezuegliche Norm an.

Betrachte 
$
  L^2  ([0, 1], RR) \, space f = g <==> f = g +  h \, space h : N -> RR \ 
  l^2  (CC) = {(a_0, a_1, a_2, a_3, ...) subset CC : underbrace(sum abs(a_(j) )^2, =  norm(a)_(l^2 )^2  ) < oo } \ 
  v_(n) =  (v_(n, 0), v_(n, 1), ... ) "ist eine Folge in" l^2 (CC) "also" sum_(k = 0)^(oo) abs(v_(n, k))^2 < oo \ 
  (v_(n) )_(n in NN) "ist Cauchyfolge".
$

Bildung des Grenzwerts 
$
  V =  (lim_(n -> oo) v_(n, 0) , underbrace(lim_(n -> oo) v_(n, 1), in CC) , ...) in l^2 (CC).
$
Abstand 
$
  norm(v_(n) - V)^2 _(l^2 ) =  sum_(k = 0)^(oo) abs(v_(n, k)  -  V_(k) )^2 
$
Epsilon delta 
$
  forall epsilon > 0 exists delta > 0 : norm(phio (v) -  phio (u_0 )) <  epsilon space forall v, u_0 "mit" norm(v - u_0 ) < delta \ 
  phio_("linear") phio (v - u_0 ) \ 
  norm(phio (w)) < epsilon space forall norm( w) < delta \, space  norm(A)_(oo) =  sup _(norm(w)= 1) norm(A (u)) =  sup_(u != 0) (norm(A (u))) / (norm(u)).
$