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)

= Uebersicht

Ende der Herleitung der Wellengleichung fuer Schall.

Kompressibilitaet

$
  kappa =  -1/(Delta p) ((Delta V)/V) \, space K = 1/kappa "Kompressibilitaetsmodul" \ 
  (Delta V) / (V)  =  (diff v) / (diff x) Delta t =  Delta p ((Delta V) / (V) 1/(Delta p)) \, space (diff v) / (diff t) - 1/rho (diff p) / (diff x) \ 
  (diff v) / (diff x) =  - (Delta p) / (Delta t) kappa = ^(lim_(Delta t -> oo) ) - (diff p) / (diff t) kappa \ 
  diff / (diff t) (- (diff p) / (diff t) kappa) =  diff / (diff t) (diff v) / (diff x) =  diff / (diff x)  (diff v) / (diff t) =  -  1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 )  \ 
  kappa (diff ^2 p) / (diff t^2 )  =  1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 )  ==>  c^2 =  1/ (rho kappa) =  kappa/rho \ 
  (diff p^2 ) / (diff t^2 )  - c^2 (diff p^2 ) / (diff x^2 ) = 0.
$

Hier werden Gleichgewichtswerte als Linearisierung genommen.

Woher kommt $kappa$ beziehungsweise das Kompressibilitaetsmodul $K$? Es gilt

$
  p V =  N k T
$

die ideale Gasgleichung.

Wir rechnen
$
  p V^(gamma)  =  p_0 V_0 ^(gamma)  "Adiabatenexponent" \ 
  gamma =  (c_(p) ) / (c_(V) ) = (f + 2) / (f)  = 1.4 "bei Luft" \
  p =  V^(- gamma) p_0 V_0 ^(gamma) \ 
  (diff p) / (diff V) =  - gamma V^(-  gamma - 1) p_0 V_0 ^(gamma) \ 
  ==> K_0 =  V (diff p) / (diff V) = - gamma p_0 .. "beziehungsweise" .. K_(0) =  1/(gamma p_0 ) \, space p =  rho k T \ 
  c_(s)  =  1/(sqrt(rho k)) =  sqrt((gamma p_0 ) / (rho_0 ) ).
$
Fuer Luft folgt
$
  c_(s) approx sqrt((1.4 10^(5) ) / (1.25) ) ("m") / ("s") =  sqrt((1.4 * 10 ^(4) ) / (1 * 12.5) ) =  3.35 * 100 ("m") / ("s") =  335 ("m") / ("s").
$

Druck und Dichte sind alle durch harmonische Wellenfunktionen gegeben. Die Linearisierung des Drucks ist durch die enorm kleineen Schwankungen gerechtfertigt.

Schallschnelle $v$ und Impedanz (Wellenwiderstand) $z =  p/v$. Dann ist 
$
  I = p v =  z v^2 = p^2 /z \ 
  d W =  arrow(F) * d arrow(s) \ 
  [I] =  ("J") / ("m"^3 )  ("m") / ("s")  =  "W" 1/"m"^2 .
$
Schall kann anhad der Frequenz  und der Schalldruck Amplidude klassifiziert werden. Die Lautstaerke ist eine Logarithmische Funktion des Schalldruckpegels. Es ist fuer den Schalldruckpegel 
$
  L_(p) := 10 log_(10) (p^2 ) / (p_(s)^2  ) =  20 log_(10)  p/p_(s)  \ 
  [L_(p) ] = "dB"\
  L := 10 log_(10)  (I (nu)) / (I_("min") (nu))  \ 
  [L] = "Phon"
$
Wie funktioniert das Hoeren anhand der Physiologie?

Helmholtz 
$
  arrow(nabla) ^2 u +  k ^2  u =  0 \ 
   u (arrow(r)) * e ^(i omega t) .
$
Raummoden visualisieren.

== Schallwellen in Festkoerpern

Wir fuehren den Spannungstensor ein. Der Festkoerper reagiert auf die Spannung $sigma =  F/A$ mit Dehnung $epsilon =  (diff xi) / (diff x) $ $epsilon_(i j)  =  (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) $
$
  underbrace(sigma, "Matrix") =  underbrace(E, "Tensor 3. Stufe") .. underbrace(epsilon, "Matrix")   .. "Hooke".
$
$F$ ist die Kraft und $A$ die Flaeche.
$sigma$, $epsilon$ sind Tensoren und $E$ ist der Young'sche Modul.

Wir stellen uns Massen und Federn in einem Gitter vor. Alle Potentiale koennen als Parabel genaehert werden und somit als Feder modelliert. Wir definieren das Verzerrungsfeld 
$
  xi (x, y) \ 
  ==> epsilon_(i, j) =  (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) .
$
Bei Stahl ist $E tilde.equiv 2 * 10 ^(11) ("N") / ("m"^2 ) ("Pa") = 210 "GPa"$.
Es folgt fuer die BWGL 
$
  Delta m dot.double(xi) = A Delta sigma =  A E ( epsilon (x +  Delta x) -  epsilon (x)) \ 
   epsilon A Delta  x dot.double(xi) =  A (diff sigma) / (diff x)  Delta x ==> dot.double(xi) =  E/sigma xi'' \, space c =  sqrt(E/sigma)
$