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)

= Uebersicht

Es werden nur ausgewaehlte Aufgaben korrigiert werden. Also nicht das ganze Blatt.

Die Uebungen werden sehr nah am Vorlesungsstoff sein.

== Inhalt

- Potenzreihen
- Cauchy-Integralformel und Residuensatz
- Schwarzraum und Distributionen
- Spezielle partielle Differenzialgleichungen auch unter Randbedingungen
- Greensche Funktion
- Banachraeume und kompakte Operatoren
- Spektralsatz am Beispiel der Strum-Liouville-Operatoren
- Fourier-Reihen und Fourier-Integrale

= Partielle Differenzialgleichungen

Die schwingende Saide mit Ausschlag
$
  u (t, x).
$
Dies ist die Loesung der Gleichung in 2 Dimensionen.
Die Wellengleichung lautet
$
  partial_(t) ^2 u (t, x) =  c^2 partial_(x) ^2 u (t, x) .. forall (t, x) in RR times (0, L)
$
mit den Randbedingungen
$
  u (t, 0) =  u (t, L) = 0 .. forall t in RR.
$
Die Saite ist also Eingespannt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c in RR^(star) $ ist fest vorgegeben.

Wir suchen $u in C^2  (overline(u))$ mit $u in RR times (0, L)$.

Es muessen die Wellengleichung die Randbedingungen und die Anfangsbedingungen von $u$ erfuellt sein
$
  u (0, x) =  f (x) , space partial_(t)  u (0, x) =  g (x) .. forall x in [0, L].
$
fuer fest gewaehlte $f in C^2 ([0, L]), g in C ([0, L])$.

#definition[
  Fuer $U subset RR^(m) $ offen setzt man
]

Die Laplace-Gleichung ist ein weiteres Beispiel fuer ein Anfangs-Randwert-Problem
$
  Delta f = 0.
$

Fuer PDE existieren Loesungen nicht fuer alle beliebigen $f (x)$ und $g (x)$.

Fuer die Loesung gibt es den Ansatz Separation der Variablen
$
  u (t, x) =  v (t) w (x) , space v in C^2 (RR), w in C^2 ([0, L]).
$
Hier muss noch mehr ueber die beiden Funktionen bekannt sein, damit die Argumente spaeter funktionieren.

Q: Wann und warum liefert dieser Ansatz Loesungen?

#remark[
  Fuer die Wellengleichung gibt es Loesungen welche nicht der Form der separierten Variablen ist.
]

#example[
  Setze den Ansatz oben
  $
    u (x, t) = v (t) w (x)
  $
  in die allgemeine Wellengleichung ein. Dann ist das Ziel zwei Gleichungen der Form
  $
    v'' (t) +  lambda v (t) =  0 and w'' (x) +  lambda/(c^2 ) w (x) = 0.
  $
  Hierbei muss erstmal das $lambda$ gefunden werden durch zuerst die Feststellung, dass die beiden Quotienten beide gleich einem $hat(lambda)$  sind.
]

#lemma[
  Das Randwertproblem 
  $
    w'' (x) +  lambda/(c^2 ) w (x) =  0 , space w (0) =  w (L) =  0
  $
  kann nur fuer $lambda > 0$ nicht-triviale Loesungen $in C^2 ([0, L])$ besitzen.
]

#proof[
  Nehme den Ansatz
  $
    lambda angle.l w\, w angle.r = lambda integral _(0) ^(L) overline(w (x)) w (x) dif x.
  $
  Dann
  - Loesung einsetzen
  - Randbedingungen nutzen
  - Positive definitheit vom Skalaprodukt nutzen
  - Auch Nutzen, dass wir wissen, dass $w' != 0$ und gleichzeitig auch glatt ist
]

Daraus wissen wir dann, dass
$
  w (x) =  a cos (sqrt(lambda)/c x) +  b sin (sqrt(lambda)/c x)
$  
mit den Randbedingungen
$
  w (0) =  0 => a = 0 and w (L) = 0 =>  sqrt(lambda) =  pi c/L k , space k in NN.
$
Das gefundene $lambda$ kann dann in Gleichung
$
  v'' (t) +  lambda v (t) = 0
$
eingesetzt werden. Da ergibt sich dann eine Ueberlagerung von Cosinus und Sinus, da keine Randbedingungen vorliegen.

Es laesst sich dann zeigen, dass sich jede Loesung der Wellengleichung mit Randbedingungen durch eine Reihe der Form
$
  u (t, x) =  sum ^(oo) _(k = 1)  (a_(k cos ((pi c)/L k t) + b_(k) sin ((pi c)/L k t) )) sin ((pi k)/L x).
$
Es gilt dann
$
  f (x) =  sum a_(k) sin ((pi k)/L x) and g (x) =  sum b_(k) (k c pi)/L sin (pi).
$

= Fourier-Reihen

#theorem[
  Konvergiert die Reihe 
  $
    1/2 a_(0)  +  sum_(i=1)^(oo) (a_(i) cos (i x) + b_(i) sin (i x) )
  $
  gleichmaessig auf $[- pi,  pi]$, so ist die Grenzfunktion $f$ stetig. Ausserdem gilt $f (- pi) =  f (pi)$ und 
  $
    a_(k) =  1/pi integral _(-  pi) ^(pi) f (s) cos (k s) dif s \
    b_(k) = 1/pi integral 
  $
]

- Was ist gleichmaessige Konvergenz

#proof[
  - Berechnen der $a_(k) and b_(k) $ im Bezug auf die Grenzfunktion
]

#definition[
  Abschnittsweise $C$ Funktion.
]

#definition[
  Periodische Standartforsetzung einer Funktion $f$.
]

#theorem[
  Eine abschnittsweise $C$ Funktion auf $[- pi, pi]$. Dann konvergiert die Folge von Funktionen $tilde(f)$ mit gewissen Eigenschaften.
]

- Stetigkeitsaussagen uber die periodische Standartforsetzung
- Gibbs-Phaenomen