// Main VL template
#import "../preamble.typ": *

// Fix theorems to be shown the right way in this document
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
#show: thmrules

// Main settings call
#show: conf.with(
	// May add more flags here in the future
	num: 9,
	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
	date: datetime.today().display(),
	//date: datetime(
	//	year: 2025,
	//	month: 5,
	//	day: 1,
	//).display(),
)

= Wiederholung Schwarz

Wir betrachten eine Funtion $f: U subset RR^(n) ->  CC $ wobei die partiellen Ableitungen exisiieren und die
zweiten partiellen Ableitungen in einem Punkt a stetig sind. Dann gilt auch
$
	partial_(j i) f (a) =  partial_(i j) f (a).
$

#definition[
	Sei $k >= 1$. ist $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ eine Funtktion fuer welche alle partiellen Ableitungen
	der Ordnung k auf der Menge U existieren uns stetig sind, so nennen wir f k-Mal stetig differenzierbar und setzen
	$
		C^(k)  (U) :=  {f: U ->  CC | f "k-Mal stetig differenzierbar"}
	$
	sowie
	$
		C^(oo) (U):= sect.big _(k = 1) ^(oo) C^(k)  (U).
	$
]

Partielle Ableitungen sind unsere Definition der Richtungsableitung.

= Differentiale hoeheren Ordnungen

Ist eine Funktion $f: U subset RR^n  ->  CC$ stetig diffbar, so erhalten wir das Differential $d f (a)$ fuer $a in U$ aus den partiellen Ableitungen von f wie folgt
$
	d f (a) h =  sum_(i=1)^(n) partial_(i) f (a) h_(i) =  partial_(h) f (a) , space h in RR^n 
$
das bedeutet das Differential beschreibt die lineare Abbildung $d f (a): RR^n ->  CC, h |-> partial_(h) f (a)$.

Ist f zwei mal stetig differenzierbar und $h,k in RR^n $ so exisitert $partial_(h) (partial_(k ) f) (a)$ fuer ein $a in U$ und es gilt
$
	partial_(h)  (partial_(k) f) (a) &=  partial_(h) (sum_(i=1)^(n) k_i partial_(i) f)(a) =  sum_(i=1)^(n) k_i partial_(h) (partial_(i) f)(a) \
	&=  sum_(i=1)^(n) k_i sum_(j = 1)^(n) h_(j) partial_(j i ) f (a) =  underbrace(sum_(i, j = 1)^(n) partial_(j) partial_(i) f (a) h_(j) k_(i), "Bilinearform in h,k").
$

Q: Koennen die Differentiale in Integralen und der Alternativen schreibweise auch als diese Differentiale aufgefasst werden und wenn ja
wie genau funktioniert das, bzw. wie sehen diese aus?

#definition[
	Ist $U subset RR^n $ offen, $f in C^(2) (U)$ und $a in U$, so definieren wir das Differential zweiter Ordnung $d^((2)) f (a)$ als die symetrische bilieare Abbildung
	$
		d^((2)) f (a) : RR^n times RR^n -> CC, (h,k)|-> partial_(h) partial_(k) f (a)
	$
	und die Hesse-Matrix $H_(f) (a)$ von f in a durch
	$
		H_(f) (a) :=    mat(
			partial_(1) partial_(1) f (a), partial_(1) partial_(2) f (a), ..., partial_(1) partial_(n) f (a);
			partial_(2) partial_(1) f (a),   , ;
			 ,  , ,  ;
			 ,  ,  , partial_(n) partial_(n) f (a);
		).
	$
]

#remark[
	Nach dem Satz von Schwarz gilt dann
	$
		H_(f)  (a)^(t) =  H_(f)  (a)
	$
	und fuer $h, k in RR^n $ ist
	$
		d ^((n))  f (h,k) =  h^(t) H_(f)  (a) k.
	$
]

#example[
	Betrachte die symetrische komplexe Matrix A und $f: RR^n ->  CC, x |-> x^(t) A x =  sum_(i, j = 1)^(n) a_(i j) x_(i) x_j $. \ Dann gilt $H_(f) (x_0 ) =  2 A$ fuer $x_0 in RR^n $.
]
#definition[
	Sei $k >=  1$ und $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k) (U)$ und $a in U$. Wir definieren das Differential k-ter Ordnung $d ^((k)) f (a)$ von f in a durch die Abbildung
	$
		d^((k)) f (a): RR^n times ... times  RR^n, (h^((1)), ..., h^((k)) ) |-> partial_(h^((1)) ) ... partial_(h^((k)) ) f (a).
	$
]

#remark[
	Wie im Fall $n =  2$ gilt
	$
		d ^((k))  f (a) (h^((1)) , ..., h ^((k)) ) =  sum_(i_(1) \,  ...,  i_(k) =  1)^(n) h_(i_(1) ) ^((1))  ... h_(i_(k) ) ^((k))  partial_(i_1 ... i_k )  f (a).
	$
	Nach dem Satz von Schwarz ist dies eine symetrische Mutlilinearform.
]

= Satz von Taylor

Das Ziel ist hier eine Verallgemeinerung der Taylor-Approximation aus der Diff I fuer Funktionen $f in C^(k) (U), U subset RR^n, k in NN$.

Die Idee ist, dass im Fall von $n =  1$ f im Punkt $x_0 $ durch ein Polynom vom Grad $k$ approximiert werden kann. Diese Methode ist bereits bekannt.

Nun kann die Funktion durch ein multidimensionales Polynom angenaehert werden. Dabei sind die ersten drei Terme zuerst der konstante Funktionswert, dann der Gradient und dann die Quadrik.

=== Reduktion auf den eindimensionalen Fall

Sei $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k + 1) (U)$ fuer ein $k in NN, x_0 in U $ und $h in RR^n $ mit $[x_0 , x_0 + h] subset U$.
Betrachte fuer $t in [0, 1]$ die Funktion $g (t) := f (x_0 +  t h$.

Da dieses Funktion g hinreichend oft diffbar ist kann dort der Satz von Taylor angwendet werden es existiert also $xi in [0, 1]$ sodass gilt
$
	g (1) =  sum_(j = 0)^(k) (1) / (j!)  g^((j))  (0) + underbrace((g^(k + 1) ) / ((k + 1)!), "Restterm").
$

Nach der Kettenregel aus Satz gilt dann noch
$
	g' (t) &=  arrow(nabla) f (x_0 +  t h) * h =  sum_(i=1)^(n) partial_(i ) f (x_0 +  t h) h_(i) \
	g ^((2)) (t)  &=  sum_(i=1)^(n) (arrow(nabla) partial_(i) f (x_0 +  t h) h) h_i =  sum_(i=1)^(n) sum_(k = 1)^(n) partial_(k) partial_(i) f (x_0 +  t h) h_(i) h_(j)  \
	g ^((j)) (t) &= sum_(i_(1) )^(n) ... sum_(i_(j) )^(n) partial_(i_1 ) ... partial_(i_j) f (x_0 +  t h) h_(i_(1) ) ... h_(i_(j) )   , space 1 <= j <= k \
	&= d ^((j)) f (x_0 +  t h) (h, ..., h) :=   d ^((j)) f (a) h^(j) .
$
#theorem[
	Verallgemeinerter Taylor.

	Sei $U subset RR^n $ offen und $f in C^(k + 1) (U), k in NN, x_0 in U, h in RR^n $ mit $[x_0 , x_0 + h] subset U$. Dann gilt es ein $xi in [x_0, x_0 + h]$ sodass gilt
	$
		f (x_0 + h) =  sum_(i=1)^(k) (1) / (i!) d ^((i)) f (x_0 )h^(i) +  (d ^(k + 1) f (xi) h ^(k + 1) ) / ((k + 1)!).
	$
	
]

#remark[
	Wie nennen das Polynom
	$
		T_(k)  f (x_0 , h):= sum_(i=1)^(n) 1/i! d ^((i))  f (x_0 ) h^(i) 
	$
	das *Taylorpolynom* von f in $x_0 $ von Ordnung $k$.
]

#example[
	Im Fall $k =  2$ erhalten wir
	$
		T_(2) f (x_0, h) =  f (x_0 ) +  underbrace(sum_(i=1)^(n) partial_(i) f (x_0 ) h_(i), arrow(nabla) f (x_0 ) h)  + 1/2 underbrace(sum_(i,j=1)^(n)  partial_(j) partial_(i) f (x_0 )h_(i) h_(j), h^(t) H_(f) (x_0 ) h )
	$
]

#corollary([ohne Beweis])[
	Ist $U subset RR^n $ offen $f in C^(k) (U)$ fuer ein $k in NN$ und $x_0 in U$ so gilt fuer $h in RR^n, h -> 0 $, dass
	$
		f (x_0 + h) =  T_(k) f (x_0 , h) +  o (norm(h)^(k) ).
	$
	Wenn zwei Funktionen $f, g: U ->  RR$ auf einer offenen Umgebung von der Null und $g >= 0$, so schreiben wir, dass 
	$
		f (x) =  o ((g x)) "fuer" x -> 0
	$
	falls es fuer jedes $epsilon > 0: exists delta > 0: abs(f (x)) <  epsilon g (x) space forall x :  norm(x) < delta$.
]

== Anwendung fuer Maxima und Minima

#definition[
	Ist $X subset RR^n , f: X -> RR$ eine Funktion und $a in X$ so nennen wir $a$ ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum falls
	$
		exists U subset X: a in U: f (x) >=  f (a) space forall x in U "bzw." f (x) <=  f (a) space forall x in V.
	$
	Der Punkt $a$ wird dann auch als lokales Extremum bezeichnet.
]

Lemmas sind auch Beobachtungen.

#lemma[
	Sei $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  R$ in $a in U$ diffbar und $a$ ein lokales Extremum von f. Dann gilt
	$
		arrow(nabla) f (a) =  0.
	$
]

#proof[
	Fuer $h in RR^n $ betrachte die Funktion $g (t) =  f (a +  t h), t in RR$. Dann
	ist $a$ lokales Extremum von $g$ und es ist bekannt, dass $g' (0) =  0$. Nach der Kettenregel
	erhalten wir
	$
		arrow(nabla)  f (a) h =  0 space forall h in RR^n => arrow(nabla) f (a) =  arrow(0).
	$
]