// 2025-01-06 09:05

= Lineare Abbildungen

Eine Abb. $f: V -> W$, zwischen VR $V$ und $W$ ueber $K$ ist linear wenn

$ forall x, y in V space forall lambda in K: f(x+y) = f(x) + f(y) and f(lambda x) = lambda f(x) $

= Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Eine Matrix ist gleichbedeutend zu einer linearen Abbildung.

== Inhomogene LGS

Sei $arrow(x)_"hom"$ Lsg. des homogenen LGS $A arrow(x)_"hom" = bb(0)$.

Sei $arrow(x)_"part"$ Lsg. des inhomogenen LGS $A arrow(x)_"part" = arrow(c)$.

$ A(arrow(x)_"hom" + arrow(x)_"part") = arrow(c) $

$arrow.r.curve$ Ein inhomogenes LGS hat genau dann eine eindeutige Lsg., wenn hom. Lsg. und inhom. Lsg. existieren.

== Inverse

Eine Matrix $A$ heisst invertierbar, wenn die zug. Abb. ein Isomorphismus ist. Die Matrix der Umkehrabb. heisst dann inverse Matrix $A^(-1)$.

=== Eigenschaften

+ jede invertierbare Matrix ist quadratisch
+ sind $A, B in K^(n times n)$, dann ist $ B = A^(-1) <=> A B = B A = E_n, quad E_n = (delta_(i j)) $
+ ist $A$ invertierbar, so auch $A^(-1)$
+ sind $A,B in K^(n times n)$ invertierbar, so auch $A B$

$arrow.r.curve$ Existiert inverse Matrix zur Kopf-Matrix eines inhom. LGS, so ist diese geloest durch $arrow(x) = A^(-1) arrow(c)$.

== Determinante

Diese ist relevant fuer das Loesen von LGS, invertieren von Matrizen, Subst. von Funktionen mehrerer Veraenderlicher und Eigenwertproblemen.

$ n = 2, quad det(A) = abs(mat(a, b;c, d)) = a d - b c $
$ n = 3, quad det(A) = abs(mat(a, b, c;d, e, f; g, h, i)) $

=== Laplace'scher Entwicklungssatz

Determinante kannn nach beliebiger Zeile oder Spalte entickelt werden.

$ det(A) = abs(mat(a_11, a_12, a_13;a_21, a_22, a_23; a_31, a_32, a_33)) = a_11 abs(mat(a_22, a_23; a_32, a_33)) - a_21 abs(mat(a_12, a_13; a_32, a_33)) + a_31 abs(mat(a_12, a_13;, a_22, a_23)) $

Allgemein gilt fuer $n >= 2$, $A in K^(n times n)$

$ det(A) = sum^n_(i=1) (-1)^(i+1) a_(i 1) U_(i 1), quad U:="Unterdeterminante an der Stelle" (i 1) $

== Transponierte

Ist $A = (a_(i j))$, so ist die transponierte Matrix gegeben durch $a_(i j)^T = a_(j i)$.T
Fuer quadrasiche Matrizen bleibt die Determinante beim Transponieren gleich. Ferner gilt $(A B)^T = B^T A^T$.