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)

= Uebersicht

== Kondensatoren und Kapazitaet

Wir betrachten ein Volumen $V$ mit verschiedenen Ladungen $S_(i) $ (Leitern) im Inneren des Volumens.

Die Laplace Gleichung 
$
  Delta f_(i) (arrow(x)) =  0 space forall arrow(x) in V
$
mit den Randbedingungen 
$
  f_(i) (arrow(x)) |_(S_(i))  =  1 \, space forall j != i : f_(i) |_(S_(j)) = 0.
$
Linearitaet der Maxwellgleichungen 
$
  Phi (arrow(x)) =  sum_(i = 1)^(N + 1) phi_(i) f_(i) (arrow(x)).
$

Ladung auf Leiter 
$
  Q_(i) =  integral _(S_(i) ) dif S sigma_(i) =  epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif S arrow(E) * hat(n) =  - epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) Phi \ 
  = - epsilon_0 sum _(j = 1) ^(N + 1) phi_(j) integral _(S_(i) ) dif arrow(S)* arrow(nabla) f_(j) \ 
  = sum _(j = 1) ^(N) C_(i j) phi_(j).
$
Mit der Kapazitaetsmatrix 
$
  C_(i j)  = underbrace(- epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) f_(j), "Definition") = - epsilon_0 integral _(partial V)  dif arrow(S)* (arrow(nabla)  f_(j)) f_(i)  \ 
  = ^("Gauss")   epsilon_0 integral _(V) dif ^3 x arrow(nabla)  * (f_(i) arrow(nabla) f_(j)  ) = epsilon_0 integral _(V) dif ^3 x (arrow(nabla)  f_(i)  * arrow(nabla) f_(j) ) + 0
$
welche nur von der Geometrie des Problems abhaengt. Diese hat eine Reihe von Eigenschaften 
- Sie ist symmetrisch $C_(i j) = C_(j i) $

Es gilt
$ sum _(i) C_(i j) =  - epsilon_0 sum _(i) integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) f_(j) \ 
=  epsilon_0 integral  _(partial V) dif arrow(S) * arrow(nabla)  f_(j)  \ 
= ^("Gauss") epsilon_0 integral _(V) dif^3 x underbrace(arrow(nabla)  * (arrow(nabla)  f_(j) ), = 0) = 0.
$
#example[
  Plattenkondensator.

  Es gilt 
  $
    C = mat(
      C_(1 1) , C_(1 2) ;
      C_(2 1) , C_(2 2) ;
    ) = mat(
      C_(1 1) , - C_(1 1) ;
      - C_(1 1) , C_(1 1) ;
    ).
  $
  Dieser hat also einfach eine Kapazitaet von $C$. 
  Konkret gilt 
  $
    arrow(E) =  (sigma) / (epsilon_0 ) hat(z) \ 
    V =  phi (0) -  phi (d) =  E d =  (sigma d) / (epsilon_0 )  =  (Q d) / (A epsilon_0 ) \ 
    C =  (Q) / (V) = (A epsilon_0 ) / (d).
  $
]
In einem Kondensator wird Energie gespeichert 
$
  U = (epsilon_0 ) / (2) integral dif^3 x arrow(E)^2 (arrow(x)) = (epsilon_0 ) / (2) A d ((sigma) / (epsilon_0 ) )^2  \ 
  = 1/(2 epsilon_0 ) Q^2 /A d =  1/2 (Q^2 ) / (C) =  1/2 C V^2.
$
Fuer eine allgemeine Konfiguration 
$
  U = 1/2 sum _(i) Q_(i) phi_(i) \ 
  = 1/2 sum _(i, j) C_(i j)  phi_(i)  phi_(j).
$

= Magnetfelder 

Zum Zeitpunkt $arrow(j)$ ist auch der Zeitpunkt $arrow(B)$. Es gilt $rho = 0 ==> arrow(E) = 0$.

Maxwellgleichungen 
$
  arrow(nabla) times arrow(B)= mu_0 arrow(j) \ 
  arrow(nabla)  * arrow(B) =  0 space "es gibt keine magnetischen Monopole".
$

=== Konsistenzcheck 

Konti 
$
  (diff rho) / (diff t) +  arrow(nabla) arrow(j) = 0 \ 
  "Zeitunabhaengig" ==> arrow(nabla) * arrow(j) = 0 \ 
  arrow(nabla)  (arrow(nabla) times arrow(B)) = 0.
$

American Journal of Physics: 92 (2024) 583 \
J. Franklin, D. Griffiths, D. Schroeter \
A taxonomy of magnetic field lines

#remark[
  Magnetische Feldlinien muessen nicht geschlossen sein.
]