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S3/KFT/VL/KftVL6.typ

@@ -8,7 +8,7 @@
 // Main settings call
 #show: conf.with(
 	// May add more flags here in the future
-	num: 5,
+	num: 6,
 	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
 	date: datetime.today().display(),
 	//date: datetime(
@@ -22,11 +22,95 @@
 
 == Kondensatoren und Kapazitaet
 
+Wir betrachten ein Volumen $V$ mit verschiedenen Ladungen $S_(i) $ (Leitern) im Inneren des Volumens.
+
 Die Laplace Gleichung 
 $
   Delta f_(i) (arrow(x)) =  0 space forall arrow(x) in V
 $
 mit den Randbedingungen 
 $
-  f_(i) (arrow(x)) =  1 \, space forall j != i \, space f_(i) |_(j) = 0
+  f_(i) (arrow(x)) |_(S_(i))  =  1 \, space forall j != i : f_(i) |_(S_(j)) = 0.
 $
+Linearitaet der Maxwellgleichungen 
+$
+  Phi (arrow(x)) =  sum_(i = 1)^(N + 1) phi_(i) f_(i) (arrow(x)).
+$
+
+Ladung auf Leiter 
+$
+  Q_(i) =  integral _(S_(i) ) dif S sigma_(i) =  epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif S arrow(E) * hat(n) =  - epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) Phi \ 
+  = - epsilon_0 sum _(j = 1) ^(N + 1) phi_(j) integral _(S_(i) ) dif arrow(S)* arrow(nabla) f_(j) \ 
+  = sum _(j = 1) ^(N) C_(i j) phi_(j).
+$
+Mit der Kapazitaetsmatrix 
+$
+  C_(i j)  = underbrace(- epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) f_(j), "Definition") = - epsilon_0 integral _(partial V)  dif arrow(S)* (arrow(nabla)  f_(j)) f_(i)  \ 
+  = ^("Gauss")   epsilon_0 integral _(V) dif ^3 x arrow(nabla)  * (f_(i) arrow(nabla) f_(j)  ) = epsilon_0 integral _(V) dif ^3 x (arrow(nabla)  f_(i)  * arrow(nabla) f_(j) ) + 0
+$
+welche nur von der Geometrie des Problems abhaengt. Diese hat eine Reihe von Eigenschaften 
+- Sie ist symmetrisch $C_(i j) = C_(j i) $
+
+Es gilt
+$ sum _(i) C_(i j) =  - epsilon_0 sum _(i) integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) f_(j) \ 
+=  epsilon_0 integral  _(partial V) dif arrow(S) * arrow(nabla)  f_(j)  \ 
+= ^("Gauss") epsilon_0 integral _(V) dif^3 x underbrace(arrow(nabla)  * (arrow(nabla)  f_(j) ), = 0) = 0.
+$
+#example[
+  Plattenkondensator.
+
+  Es gilt 
+  $
+    C = mat(
+      C_(1 1) , C_(1 2) ;
+      C_(2 1) , C_(2 2) ;
+    ) = mat(
+      C_(1 1) , - C_(1 1) ;
+      - C_(1 1) , C_(1 1) ;
+    ).
+  $
+  Dieser hat also einfach eine Kapazitaet von $C$. 
+  Konkret gilt 
+  $
+    arrow(E) =  (sigma) / (epsilon_0 ) hat(z) \ 
+    V =  phi (0) -  phi (d) =  E d =  (sigma d) / (epsilon_0 )  =  (Q d) / (A epsilon_0 ) \ 
+    C =  (Q) / (V) = (A epsilon_0 ) / (d).
+  $
+]
+In einem Kondensator wird Energie gespeichert 
+$
+  U = (epsilon_0 ) / (2) integral dif^3 x arrow(E)^2 (arrow(x)) = (epsilon_0 ) / (2) A d ((sigma) / (epsilon_0 ) )^2  \ 
+  = 1/(2 epsilon_0 ) Q^2 /A d =  1/2 (Q^2 ) / (C) =  1/2 C V^2.
+$
+Fuer eine allgemeine Konfiguration 
+$
+  U = 1/2 sum _(i) Q_(i) phi_(i) \ 
+  = 1/2 sum _(i, j) C_(i j)  phi_(i)  phi_(j).
+$
+
+= Magnetfelder 
+
+Zum Zeitpunkt $arrow(j)$ ist auch der Zeitpunkt $arrow(B)$. Es gilt $rho = 0 ==> arrow(E) = 0$.
+
+Maxwellgleichungen 
+$
+  arrow(nabla) times arrow(B)= mu_0 arrow(j) \ 
+  arrow(nabla)  * arrow(B) =  0 space "es gibt keine magnetischen Monopole".
+$
+
+=== Konsistenzcheck 
+
+Konti 
+$
+  (diff rho) / (diff t) +  arrow(nabla) arrow(j) = 0 \ 
+  "Zeitunabhaengig" ==> arrow(nabla) * arrow(j) = 0 \ 
+  arrow(nabla)  (arrow(nabla) times arrow(B)) = 0.
+$
+
+American Journal of Physics: 92 (2024) 583 \
+J. Franklin, D. Griffiths, D. Schroeter \
+A taxonomy of magnetic field lines
+
+#remark[
+  Magnetische Feldlinien muessen nicht geschlossen sein.
+]