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S2/AnaMech/VL/AnMeVL3.typ

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+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 3)
+
+= Uebersicht
+
+- Team Captains
+- Skript! Mitschreiben?
+- Hoersaaluebung
+- 2. Klausur im WiSe 2025
+- Fragen?
+
+= Eindimensionale Systeme allgemein
+
+Einen Massepunkt mit Masse $m$  und Koordinate $q$ 
+
+Beispiele:
++ Bewegung entlang einer kartesicschen Koordinate $q=x$
++ Feste (krummlinige) Kurve im $RR^(3) $ Koordinate i.a. nicht kartesisch
++ Problem als Resultat des Ausnutzens von erhaltungsgroessen (z.B. Zentralpotential, Hamiltonformalismus)
+
+Formal:
+$
+	m dot.double(x)=f (x,dot(x),t),x (t_(0) ),dot(x) (t_(0) )
+$
+
+= Zeitunabhaengige Probleme
+
+$f=f (x)$
+
+$arrow(f) "ist konservativ" ==> exists V (arrow(r))==> arrow(f) (arrow(r)) = - arrow(nabla) V (arrow(r)) ==> E=T+V "(Energieerhaltung)"$
+
+$
+	V (x) =- integral_(x)^(x_0 ) d x' f (x')
+$
+
+dieses $V$ existiert fuer stetige $f$. Im eindimensionalen Fall gilt dann 
+$
+	f (x)=-V' (x).
+$
+
+$
+	==> E=T (dot(x))+V (x) "erhalten"\
+	(dif E) / (dif f) =0, forall t
+$
+
+= Konsequenzen aus Energieerhaltung
+
+Reduktion von DGL 2. Ordnung auf DGL 1. Ordnung ist der wichtigste Punkt dieser Vorlesung.
+
+Sei $E$ fest aber beliebig vorgegeben. Dann wissen wissen wir
+
+$
+	E=m/2 dot(x)^2 +V (x)\
+	==> dot(x)^2 = 2/m (E-V (x))
+$
+
+was eine DGL 1. Ordnung darstellt.
+Aus der Definition der kinetischen Energie folgern wir die Ungleichung
+$
+	E >= V (x).
+$
+es sind also nur diese $x$ erlaubt!
+Die oben stehende DGL kann mittels TdV geloest werden
+
+$
+	(dif x) / (dif t) = +- sqrt(2/m (E-V (x)))\
+	==>  integral_(t)^(t_0 ) d t' = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (2/m (E-V (x')))^(-1/2) \
+	==> t-t_0 = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (2/m (E-V (x')))^(-1/2) 
+$
+
+== Integrationskonstanten
+
+Seien die Gesamtenergie $E$, $t_0 $ und die Startposition $x_0=x (t_0 )$ gegeben.
+Folgern von allgemeinen Aussagen ohne Rechnen
++ $E=V (x_u ) <==>  T = 0$ in dem Umkehrpunkt $x_u $
++ Natuerlich gilt $T(E,V)=E-V$
++ Verbotene Bereiche sind $x "mit" E < V (x)$, welche sich in einem $V$-$x$-Diagramm so erkannt werden koennen, dass 
++ Offene Bahnen bedeutet, dass $abs(x) "unbeschraenkt"$ dies ist der Bereich unter der $E$ -Kurve, so dass sie im weiteren Verlauf keinen Schnittpunkt mehr mit dieser hat
++ Geschlossene Bahnen, diese sind das Gegenstueck zu den offenen Bahnen und sind periodisch wodurch sie zu Oszillatoren werden